Modelo de Lotka-Volterra

De Física Computacional
Edição feita às 18h09min de 12 de abril de 2021 por Jhordan (Discussão | contribs)

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No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:

  • Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
  • Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
  • O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
    • Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.

Dessa forma, as equações são:

Onde:

  • taxa de crescimento de presas sem predadores;
  • taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
  • taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
  • : taxa de crescimento de predadores devido a predação.

Separação de variáveis

Utilizando a separação de variáveis, temos:

Logo:

Integrando ambos os lados:

Onde é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas Temos então:

Um ponto de equilíbrio fora da origem é obtido quando:

Então neste caso, o sistema oscila em torno de e a constante é definida pelas condições iniciais . Para a condição em que , então:

Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais:

Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio. Para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio. Obviamente além do ponto , temos um ponto de equilíbrio em . Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.

com as condições e condição inicial arbitrária, plotado no GeoGebra.

Linearização em torno do ponto de equilíbrio

Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de , verificando que satisfaz:

Então lembrando as equações:

Logo:

Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:

Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:


os seguintes autovalores . Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de , a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.

Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é . Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento e . Então temos e e substituindo, para :E para :

Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:

Desprezando os termos não lineares então:

Então os autovalores correspondentes:

Como temos raízes puramente imaginárias e , temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.

Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores[1].alt=

Segundo método de Lyapunov

Para avaliar o ponto , podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:

Como já discutimos e a região onde para , sendo um ponto de acumulação em [2]. Então:

Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio :


Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise , temos então uma instabilidade local pois é positivo definido em , uma vez que , . Olhando o segundo ponto de equilíbrio, , podemos manipular as equações da seguinte forma:

Definindo então a seguinte função de Lyapunov:

Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:

Agora precisamos que para tenhamos , na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:

De forma geral temos , e precisamos que quando . Além de ser facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis , também podemos analisar a seguinte desigualdade:

Podemos ver quer a desigualdade desigualdade é válida exceto se . Mas como fizemos a seguinte substituição então , e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que é positivo definido, calculamos então:

Então:Temos então a condição de estabilidade concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.

Principais materiais utilizados

  1. A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
  2. Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
  3. Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
  4. Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)

Citações

  1. Análise de sistemas não-lineares (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)
  2. Stability Analysis of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)


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