Métodos de Lyapunov

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Os critérios de Lyapunov para analisar a estabilidade em sistemas não lineares são:

• Primeiro critério de Lyapunov (método reduzido, método indireto ou teorema da linearização): a análise de estabilidade de um ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ é feito estudando a estabilidade do sistema linearizado correspondente na vizinhança deste ponto de equilíbrio.
• Segundo critério de Lyapunov (método direto): a análise de estabilidade de um ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ é feito usando funções escalares apropriadas definidas no espaço de estados.

Primeiro critério

Considerando uma função contínua:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)$$

Considerando a vizinhança do ponto de equilíbrio na origem ${\textstyle \left(x_{0},u_{0}\right)}$ (qualquer ponto pode ser transladado para a origem), temos o seguinte correspondente sistema linearizado:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=A{\tilde {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)+B{\tilde {\boldsymbol {u}}}\left(t\right)$$

• Se todos os autovalores da matriz ${\textstyle A}$ tem parte real negativa o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável;
• Se ao menos um dos auto valores da matriz da matriz ${\textstyle A}$ tem parte real positiva então o ponto instável;
• Se um dos autovalores está localizado no eixo imaginário, isto é, tem parte real nula, mas todos os outros autovalores são negativos (não há autovalor positivo e nem todos são negativos), não é possível concluir nada sobre a estabilidade do ponto.
  • Para 2 dimensões se ${\textstyle \lambda _{1}=\lambda _{2}^{*}}$ temos uma estabilidade não assintótica e se ${\textstyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$ temos um caso degenerado.

Olhando um exemplo simples para entendermos melhor, vamos considerar um sistema autônomo em duas dimensões. Especificamente:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$$

Considerando que os autovalores sejam números reais, a magnitude não é a característica mais importante dos autovalores, mas sim o sinal. Se ambos os autovalores tem sinal positivo, então o sistema vai se afastar da origem. Por exemplo, se o sistema está em um ponto $\left(1,-1\right)$ do espaço de estados vai sofrer uma variação positiva na coordenada x, e negativa na coordenada y. Agora se ambos os autovalores são negativos temos um deslocamento no sentido contrário, ou seja, o sistema vai se aproximar da origem. E por fim, se o sistema tem um autovalor com cada sinal, então significa que em um eixo ele se aproxima e no outro se afasta (ponto de sela).

Olhando para os autovetores da nossa matriz, eles apontam exatamente na direção dos eixos ($\left\{\left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\}$), que foram as direções em que discutimos o comportamento do sistema. De maneira geral, tivéssemos uma matriz qualquer, analisaríamos então o comportamento do sistema na direção dos autovetores. Por exemplo para o sistema:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$$

Temos os seguintes autovalores $\left\{-0.37,5.37\right\}$ com os seguintes autovetores correspondentes $\left\{\left(1,-0.69\right),\left(1,2.19\right)\right\}$. Então significa que na direção $\left(1,-0.69\right)$ o sistema evolui de forma a se aproximar da origem (autovalor negativo) e na direção $\left(1,2.19\right)$ se afasta da da origem (autovalor positivo).

Ou ainda em uma explicação mais geral, uma matriz $A$ qualquer que tenha os autovalores $\lambda _{i}$ associado aos autovetores $\left|\lambda _{i}\right\rangle$:

$$A=\sum _{i}\lambda _{i}\left|\lambda _{i}\right\rangle \left\langle \lambda _{i}\right|$$

Então escrevendo nosso sistema linear de equações diferenciais como:

$$\left|{\dot {x}}\right\rangle =A\left|x\right\rangle$$

Ou ainda:

$$\left|{\dot {x}}\right\rangle =\sum _{i}\lambda _{i}\left|\lambda _{i}\right\rangle \left\langle \lambda _{i}|x\right\rangle$$

Podemos pensar então que o termo $\left\langle \lambda _{i}|x\right\rangle$ nos dá uma medida de ortogonalidade entre nosso ponto atual $\left|x\right\rangle$ e o autovetor $\left|\lambda _{i}\right\rangle$ , o que implica em 'quanto' nosso sistema vai se mover na direção apontada pelo autovalor. Como um extremo, podemos ver que se forem perpendiculares entre si, então $\left\langle \lambda _{i}|x\right\rangle =0$ logo o termo inteiro do somatório é zerado. Uma vez que $\left\langle \lambda _{i}|x\right\rangle \neq 0$, então resta o vetor $\left|\lambda _{i}\right\rangle$, que vai dar efetivamente a direção no qual o ponto vai se mover. E ainda por fim, temos $\lambda _{i}$ que vai regular o sentido no qual o sistema vai se 'mover'. Podemos perceber aqui, para valores reais, a necessidade de que todos os autovalores sejam negativos para termos um sistema estável, assim como o motivo de que os autovalores reais positivos configuram um sistema instável.

Obs. Esta é uma notação emprestada da mecânica quântica, a notação de dirac. Onde $\left\langle \lambda _{i}\right|$ é o transposto conjugado de $\left|\lambda _{i}\right\rangle$ e $\left\langle \lambda _{i}|\lambda _{j}\right\rangle$ denota o produto interno entre os vetores $\left|\lambda _{i}\right\rangle$ e $\left|\lambda _{j}\right\rangle$.

Diagrama de fase gerado no WolframAlpha para o sistema formado por ${\dot {x}}=x+2y$ e ${\dot {y}}=3+4y$.

Segundo critério

O segundo critério de Lyapunov geralmente é utilizando quando não podemos utilizar o primeiro (com autovalores negativos). Precisamos de algumas definições adicionais para estudá-lo, sendo ${\textstyle W}$ um subconjunto aberto de ${\textstyle {\mathcal {R}}^{n}}$ contendo a origem (qualquer ponto de equilíbrio pode ser transladado para a origem), então uma função ${\textstyle V}$

$$V:W\rightarrow {\mathcal {R}}{\text{ tal que }}{\boldsymbol {x}}\mapsto V\left({\boldsymbol {x}}\right)$$

É [semi]positiva definida em ${\textstyle W}$ se:

• ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}_{0}\right)=0}$
• ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ ${\textstyle \left[V\left({\boldsymbol {x}}\right)\geq 0\right]}$, sendo ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {x}}_{0}}$

E [semi]definida negativa se:

• ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}_{0}\right)=0}$
• ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)<0}$ ${\textstyle \left[V\left({\boldsymbol {x}}\right)\leq 0\right]}$, sendo ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {x}}_{0}}$.

Vale a pena um olhar especial para funções quadráticas.

• 1 variável: ${\textstyle f\left(x_{1}\right)=a_{11}x_{1}^{2}=x_{1}a_{11}x_{1}}$
• 2 variáveis: ${\textstyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}a_{11}x_{1}+x_{1}a_{12}x_{2}+x_{2}a_{21}x_{1}+x_{2}a_{22}x_{2}}$
• N-variáveis: ${\textstyle f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=\sum _{i,j}^{n}x_{i}a_{ij}x_{j}}$

De forma que podemos representá-la matricialmente como:

$$f\left({\boldsymbol {x}}\right)={\boldsymbol {x}}^{T}P{\boldsymbol {x}}$$

Onde:

$${\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right),\qquad P=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right)$$

Além disso, qualquer forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica, substituindo ${\textstyle a_{ij}^{s}=a_{ji}^{s}={\frac {a_{ji}+a_{ij}}{2}}}$ para quando ${\textstyle a_{ij}\neq a_{ji}}$. Ou de maneira genérica:

$$P^{s}={\frac {P+P^{T}}{2}}$$

Então só precisamos nos preocupar com ${\textstyle P}$ para classificar a função quadrática. Se os menores principais líderes são maiores que zero, temos um positivo definido. Isto é:

$$\left|D_{1}\right|=\left|a_{11}\right|>0,\left|D_{2}\right|=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|>0,\dots ,\left|D_{n}\right|=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right|>0$$

Lembrando que ${\textstyle \left|M\right|}$ denota o determinante da matriz ${\textstyle M}$. Para um positivo semidefinido, precisamos levar em conta todos os menores. Isto é, quando a matriz que obtemos não corresponde necessariamente ao quadrante superior esquerdo da matriz. Neste caso se todos os menores principais ${\textstyle D_{j}}$ são maiores ou iguais a ${\textstyle 0}$ (${\textstyle D_{j}\geq 0}$) temos uma função semidefinida positiva.

Já para o negativo definido, temos a seguinte condição para os menores principais líderes:

$$\left|D_{1}\right|<0,\left|D_{2}\right|>0,\left|D_{3}\right|<0,\dots$$

Ou seja uma alternância de sinal começando com negativo. Para o negativo semidefinido temos algo análogo porém com todas as matrizes menores, as ímpares são ${\textstyle \leq 0}$ e as pares ${\textstyle \geq 0}$. Uma forma mais fácil de classificarmos a matriz é olhando para seus autovalores. Se todos os autovalores da matriz são:

• ${\textstyle \lambda _{i}>0}$: positivo definido
• ${\textstyle \lambda _{i}<0}$: negativo definido
• ${\textstyle \lambda _{i}\geq 0}$: positivo semidefinido
• ${\textstyle \lambda _{i}\leq 0}$: negativo semidefinido

Retornando ao sistema não linear:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\left(t\right),{\boldsymbol {u}}_{0}\right)$$

Considerando um sistema autônomo:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)$$

Pelo segundo critério de Lyapunov, se na vizinhança ${\textstyle W}$ de ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ existe uma função ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right):W\rightarrow {\mathcal {R}}}$ positiva definida e:

• ${\textstyle {\dot {V}}\leq 0}$ , então o ponto ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ é estável;
• ${\textstyle {\dot {V}}}$ for negativo definido, o ponto é assintoticamente estável;
  • Ainda há um ’refinamento’ para determinar estabilidade assintótica quando Lyapunov garante apena estabilidade (critério de La Salle-Krasowski).
• ${\textstyle {\dot {V}}}$ for positivo definido, o ponto é instável.
  • Se ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ for um ponto de acumulação para um conjunto de pontos ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\in W}$ em que ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$, o critério também pode ser usado se a função ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)}$ não for positiva definida em todo ${\textstyle W}$.

Aqui talvez vale a pena fazer uma breve discussão sobre o que é ser um ponto de acumulação e alguns conceitos relacionado.

• Ponto de acumulação: Um ponto ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ é um ponto de acumulação do conjunto ${\textstyle W^{+}\subseteq W}$ se todas as suas vizinhanças abertas contém ao menos um ponto de ${\textstyle W^{+}}$ distinto de ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$.
• Vizinhança aberta: a vizinhança aberta de um ponto é todo conjunto aberto que contém o ponto.
• Conjunto aberto:
  • Uma bola aberta é ${\textstyle K\left(x,r\right)=\left\{y\in R^{n}:d\left(x,y\right)<r\right\}}$, onde ${\textstyle d\left(x,y\right)}$ é a distância entre dois pontos. Então ${\textstyle K\left(x,r\right)}$ é uma bola aberta centrada em ${\textstyle x}$ com raio ${\textstyle r}$.
  • Um conjunto aberto é uma união de bolas abertas. Ou seja um conjunto ${\textstyle W^{+}\subseteq {\mathcal {R}}^{n}}$ é um conjunto aberto se ${\textstyle \left(\forall x\in W^{+}\right)\left(\exists r>0\right)K\left(x,r\right)\subseteq W^{+}}$, em palavras, para todo ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ que pertence a ${\textstyle W^{+}}$, existe um raio ${\textstyle r}$ maior que ${\textstyle 0}$ em que temos uma bola aberta centrada em ${\textstyle x}$ com raio ${\textstyle r}$ que é um subconjunto de ${\textstyle W^{+}}$.
  • Conjunto aberto é uma generalização de intervalos abertos.
  • Como exemplo de conjunto aberto, podemos citar o interior de um disco com a fronteira delimitada por ${\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$. Este conjunto de pontos que satisfazem ${\textstyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}$ é um conjunto aberto.

Para compreender melhor o critério, devemos lembrar que o segundo método de Lyapunov é uma generalização baseada em dois princípios físicos básicos:

• Um sistema conservativo é estável somente se sua energia potencial tem um mínimo local no ponto de equilíbrio;
• A energia total de um sistema conservativo é constante durante a evolução do sistema.

Então podemos voltar a física clássica e encarar ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}},t\right)}$ como uma energia potencial, logo ${\textstyle {\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}},t\right)}$ é a variação da energia potencial ao longo do tempo. Ou melhor, se considerarmos um sistema mecânico em que a energia é total dada pela soma da potencial e a cinética, então se tivermos uma energia cinética inicial nula, ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}\right)}$ representa a energia inicial total do sistema.

Podemos pensar em um poço potencial em 2 dimensões, potencial em formato de uma "bacia" por exemplo, caso o sistema seja conservativo (não retiramos nem acrescentarmos energia ao sistema), se largarmos uma bolinha em um ponto qualquer, ela ficará oscilando oscilando em torno da origem, que é um ponto de equilíbrio estável. Se tivermos $V\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}$, podemos ver facilmente que ${\textstyle V\left({\boldsymbol {0}}\right)=0}$ e ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ se ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {0}}}$. Nesse caso a força que atuando sobre a bolinha é ${\boldsymbol {F}}=-\nabla V=-2\left(x,y\right)$. Então analisando por exemplo sobre o eixo x ($y=0$), se estiver no sentido positivo (negativo) de x, vai sentir uma força em direção a origem, isto é

negativa (positiva), uma força restaurativa, neste caso também temos ${\textstyle {\dot {V}}\left(x,y\right)=0}$. Para uma dimensão temos ${\ddot {x}}+{\frac {2}{m}}x=0$, esta é uma equação da onda e tem como solução uma soma de senos e cossenos, ou seja periódica.

Porém se o sistema estiver perdendo energia, então o estado do sistema vai se aproximar do ponto de equilíbrio uma vez que ele seja um mínimo local. Nesta situação temos um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. No caso da bolinha poderia ser representado por exemplo pelo atrito que retira energia do sistema, porém ele retira energia cinética. Vamos usar uma analogia diferente: um sistema massa mola em uma dimensão. Neste caso temos $F=-kx$ e $V\left(x\right)={\frac {kx^{2}}{2}}$, onde $k$ é a constante da mola, onde quanto maior a constante, maior a força restauradora e maior a energia potencial. Se consideramos que a mola "cansa" com o tempo, e utilizarmos por exemplo $k={\frac {2}{t}}$, ficamos com $F=-{\frac {2x}{t}}$ e $V\left(x,t\right)={\frac {x^{2}}{t}}$. Podemos ver que ainda temos as condições satisfeitas para a função de Lyapunov ( ${\textstyle V\left(0,t\right)=0}$ e ${\textstyle V\left(x,t\right)>0}$ se ${\textstyle \left(x,t\right)\neq {\boldsymbol {0}}}$), porém agora temos ${\textstyle {\dot {V}}\left(x,t\right)<0}$. Isso acontece pois o sistema está perdendo energia na forma de uma diminuição na energia potencial do sistema como um todo. Observando quando a bolinha se desloca entre um extremo e o ponto de origem, temos que a energia potencial está parte sendo convertida em energia cinética, mas parte está simplesmente sendo retirada do sistema. A cada oscilação o ponto extremo ponto possui uma energia cada vez menor e consequentemente uma força restaurativa também cada vez menor. Até que a massa atinge o equilíbrio. O sistema físico em questão, ${\ddot {x}}+\left({\frac {2}{mt}}\right)x=0$, temo como solução funções de Bessel. Estas funções tem comportamento similares a funções senos (ou cossenos) amortecidas.

Antes de avançar para a discussão da instabilidade, vamos lembrar que quando queremos demonstrar que um ponto de equilíbrio é estável, precisamos analisar toda a vizinhança do ponto de equilíbrio, pois precisamos garantir que em qualquer estado inicial próximo ao ponto de equilíbrio, o sistema não se afaste do mesmo. Porém para o critério de instabilidade, não temos a mesma exigência, uma vez que se ele se afastar em um eixo, é o suficiente para ser classificado como um ponto instável. E agora também temos que ${\textstyle {\dot {V}}\left(x,y\right)>0}$, isto é, o sistema está recebendo energia, o que permite que se afaste do ponto de equilíbrio. Fisicamente isso pode ser, por exemplo, um sistema que aumente a energia potencial de acordo com a temperatura, e colocamos o sistema sobre o fogo.

Para ilustrar esse último exemplo, vamos utilizar um potencial $V\left(x,y,t\right)=t\left(x^{2}-y^{2}\right)$, podemos notar que se não fosse explicitamente dependente do tempo, teríamos ${\dot {V}}\left(x,t\right)=0$, porém o potencial não é positivo definido na vizinhança da origem, dessa forma, não podemos garantir a estabilidade. Temos então novamente satisfeito $V\left(0,0,t\right)=0$ porém agora temos apenas um subconjunto $W^{+}$ de pontos em que $V\left(0,0,t\right)>0$, especificamente quando ${\textstyle \left|x\right|>\left|y\right|}$ . E a variação de energia neste ponto é ${\dot {V}}\left(x,y,t\right)>0$, então temos um ponto de instabilidade. Podemos observar ainda que $\left(0,0\right)$ é um ponto de sela para a função $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$, para $y=0$ se reduz a $f(x)=x^{2}$, então se reduzíssemos o problema a uma dimensão sobre o eixo x, o potencial poderia ser classificado como uma função positiva definida. Resolvendo o sistema físico sobre em uma dimensão, temos ${\ddot {x}}+\left({\frac {2t}{m}}\right)x=0$, a solução deste sistema é escrita em termos de funções de Airy, e tende a infinito quando a variável independente tende a infinito.

Sendo ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)}$ uma função de ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\left(t\right)}$, então temos:

$${\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&={\frac {\partial V}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}+\dots +{\frac {\partial V}{\partial x_{n}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial t}}\\&=\left[{\frac {\partial V}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial V}{\partial x_{n}}}\right]\cdot \left[{\dot {x}}_{1},\dots ,{\dot {x}}_{n}\right]\end{aligned}}$$

E como ${\textstyle \nabla V=\left[{\frac {\partial V}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial V}{\partial x_{n}}}\right]}$ e ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=\left[{\dot {x}}_{1},\dots ,{\dot {x}}_{n}\right]}$, reescrevemos:

$${\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]$$

Como exemplo, se temos o seguinte sistema:

$${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=+x_{1}-x_{1}x_{2}\\{\dot {x}}_{2}&=-x_{2}+x_{1}x_{2}\end{aligned}}$$

Um ponto de equilíbrio é ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}=0}$. Considerando a seguinte função de Lyapunov:

$$V\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$$

Temos ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}_{0}\right)=0}$. além disso temos um conjunto de pontos ${\textstyle W^{+}}$ em que ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ quando ${\textstyle \left|x_{1}\right|>\left|x_{2}\right|}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ é um ponto de acumulação de ${\textstyle W^{+}}$. Então calculando a derivada da função de Lyapunov:

$${\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]\\&=\left(2x_{1},-2x_{2}\right)\left(+x_{1}-x_{1}x_{2},-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)\\&=2x_{1}^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}+2x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}^{2}\\&=2x_{1}^{2}\left(1-x_{2}\right)+2x_{2}^{2}\left(1-x_{1}\right)\end{aligned}}$$

Como estamos avaliando a região ${\textstyle W^{+}}$ próxima ao ponto do equilíbrio, que neste caso está localizado na origem, podemos assumir que há uma região em que ${\textstyle x_{1},x_{2}<1}$ e logo ${\textstyle {\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ é positivo definido em ${\textstyle W^{+}}$. Sendo assim, temos um ponto de instabilidade.

Principais materiais utilizados

• Dinâmica e Sistemas Dinâmicos (Jaime E. Villate, Universidade do Porto)
• Lyapunov stability (Christopher J. Damaren, Universidade de Toronto)
• Sketching Non-Linear Systems (Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
• Stability Analysis of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)

Citações

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