Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas

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Analisar a estabilidade local de equações diferenciais atrasadas é mais desafiador que realizar a mesma análise para equações diferenciais ordinárias. Isto ocorre devido a dimensionalidade infinita do sistema. Por exemplo considerando uma equação diferencial linear atrasada simples:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=\alpha y_{\tau}}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y_{t}\equiv y\left(t-1\right)} , só há um único ponto de equilíbrio em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=0} . Para equações diferenciais ordinárias do tipo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n}y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\dots+a_{1}y^{'}+a_{0}y=0}

Assumindo que as soluções vão ser da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)=Ce^{\lambda t}} , pode-se substituir:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} Ce^{\lambda t}\left(a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}\right) & =0\\ a_{n}\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}\end{align}}

Então este é o polinômio característico. E sua solução nos dá a solução para a equação diferencial. Por exemplo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'-\alpha y=0\rightarrow\lambda=\alpha}

Logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)=Ce^{\alpha t}} . Esta solução pode ser conferida resolvendo diretamente esta EDO simples:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\frac{dy}{y}=\int\alpha dt\rightarrow y=Ce^{\alpha t}}

Agora supondo uma solução análoga Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)=Ce^{\lambda t}} para a equação com atraso:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left(Ce^{\lambda t}\right)=\lambda Ce^{\lambda t}} EFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\left(t-1\right)=Ce^{\lambda\left(t-1\right)}=Ce^{\lambda t}e^{-\lambda}}

Então a equação característica é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} y'-\alpha y_{\tau} & =0\\ \lambda Ce^{\lambda t}-\alpha Ce^{\lambda t}e^{-\lambda} & =0\\ \lambda-\alpha e^{-\lambda} & =0\end{align}}

Para as equações diferenciais ordinárias havia um polinômio e o teorema fundamental da álgebra permitia dizer quantas raízes esperar. Porém para as equações diferenciais atrasadas, não há teorema algum sobre a quantidade de raízes, este número poderia inclusive ser infinito. Como exemplo, pode-se considerar soluções reais e complexas separadamente conforme será visto na sequência.

Solução real

Supondo que a solução é real, pode-se plotar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{1}=\lambda} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{2}=\alpha e^{-\lambda}} separadamente, e então e procurar por intersecções. Isto é, quando os dois termos possuem o mesmo valor para um mesmo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} , pois consequentemente então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda-\alpha e^{-\lambda}=0} . Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha>0} , há uma única intersecção, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda>0} , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=Ce^{\lambda t}} aumenta exponencialmente ao infinito quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t\rightarrow\infty} . Desta forma, o ponto de equilíbrio é instável.

A esquerda o gráfico gerado para um valor qualquer em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha>0} , e a direita para três valores em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha <0} , especificamente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_c<\alpha<0} em preto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \alpha_c} em verde, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha < \alpha_c} em azul.

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha<0} pode haver 2 intersecções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\alpha_{c}<\alpha\right)} , 1 intersecção o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\alpha_{c}=\alpha\right)} ou nenhuma intersecção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\alpha<\alpha_{c}\right)} . Para identificar qual é este ponto crítico Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_c} , basta perceber que neste ponto a reta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{1}} é tangente à curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{2}} no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\lambda_{c},z_{c}\right)} . Logo, a inclinação de ambos deve ser a mesma, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m_{1}=m_{2}} . A inclinação da reta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{1}} é simplesmente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m_{1}=1} . Então a inclinação da curva também deve ser:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{2}=\frac{dz_{2}}{d\lambda}|\lambda_{c}=-\alpha_{c}e^{-\lambda_{c}}=1} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{c}=-e^{\lambda_{c}}}

Substituindo a constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_c} em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{2}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_{c}=-e^{\lambda_{c}}e^{-\lambda_{c}}=-1}

Pode-se obter agora Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda_{c}} a partir da reta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{1}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z_{c}=-1=\lambda_{c}} . Dessa forma o valor crítico é então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha_{c}=-e^{-1}} . Logo, se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha\in\left[\alpha_{c}0\right]} , então as raízes da equação característica são reais e negativas e a solução exponencial associada decai para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} com o tempo. As raízes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} também são chamadas de autovalores, termo que será empregado daqui em diante.

A esquerda a solução para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha=1>0} e a direita para ${\textstyle \alpha _{c}\leq \alpha =-1<0}$, considerando como condição inicial ${\textstyle y_{0}=2}$.

Para ${\textstyle \alpha <\alpha _{c}}$, não há decaimento ou crescimento exponencial nos componentes da solução, para isto vamos analisar as soluções complexas. As soluções podem ser obtidas numericamente via Mathematica:

sol = NDSolve[{y'[t] == -2.0*y[t - 1], y[t /; t <= 1] == 2}, y, {t, 0, 30];
Plot[y[t] /. sol, {t, 0, 30}, PlotRange -> All]

Solução Complexa

Substituindo então ${\textstyle \lambda =\lambda _{r}+i\lambda _{i}}$, na equação característica, obtém-se:

$${\begin{aligned}\lambda -\alpha e^{-\lambda }&=0\\\lambda &=\alpha e^{-\lambda }\\\lambda _{r}+i\lambda _{i}&=\alpha e^{\left[-\lambda _{r}-i\lambda _{i}\right]}\\\lambda _{r}+i\lambda _{i}&=\alpha e^{-\lambda _{r}}e^{-i\lambda _{i}}\\\left[\lambda _{r}\right]+i\left[\lambda _{i}\right]&=\left[\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}\right]+i\left[\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \left(-\lambda _{i}\right)\right]\end{aligned}}$$

Logo:

$${\begin{aligned}\lambda _{r}&=+\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}\\\lambda _{i}&=-\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \lambda _{i}\end{aligned}}$$

Calculando a razão entre os termos:

$${\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{i}}}={\frac {+\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}}{-\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \lambda _{i}}}=-\cot \left(\lambda _{i}\right)$$

Então utilizando ${\textstyle \lambda _{i}}$ como parâmetro, pode-se obter equações paramétricas para ${\textstyle \lambda _{r}}$ e ${\textstyle \alpha }$:

$${\begin{aligned}\lambda _{r}&=-\cot \left(\lambda _{i}\right)\lambda _{i}\\\alpha &=-{\frac {\lambda _{i}}{\exp \left(\lambda _{i}\cot \left(\lambda _{i}\right)\right)\sin \lambda _{i}}}\end{aligned}}$$

Soluções das equações paramétricas. Em vermelho o caso especial quando $\lambda _{i}=0$.

Por conta da periodicidade das funções trigonométricas, muitas curva são traçadas quando varía-se ${\textstyle \lambda _{i}}$ entre ${\textstyle -\infty }$ e ${\textstyle +\infty }$. Além, disto para ${\textstyle \lambda =\lambda _{r}}$ então ${\textstyle \lambda _{i}=0}$, desta forma pode-se plotar diretamente ${\textstyle \alpha \left(\lambda _{r}\right)}$:

$$\alpha =\lambda _{r}e^{\lambda _{r}}$$

Utilizando o Geogebra, isto pode ser feito realizando cada entrada manualmente:

-x cotg(x)
d(x) = (-x)/(e^(x cotg(x)) sen(x))
Curva(d(u), c(u), u, -60 , 60)
x = y e^y

A solução geral é ${\textstyle y\left(t;a\right)=\sum _{c}e^{\lambda _{n}t}}$, onde o somatório é sobre todos os valores de ${\textstyle \lambda _{n}}$ para um dado parâmetro ${\textstyle \alpha }$, então o estado de equilíbrio é estável para valores de ${\textstyle \alpha }$ em que todos os autovalores tem valores reais negativos. Ou seja, para valores entre ${\textstyle \alpha _{c2}}$ e o eixo ${\textstyle \alpha =0}$. pois para ${\textstyle \alpha >0}$, então ${\textstyle \lambda _{r}>0}$ quando ${\textstyle \lambda _{i}=0}$. Então o próximo passo é identificar segundo pronto crítico ${\textstyle a_{c2}}$.

Ele ocorre quando ${\textstyle \lambda _{r}=0}$ e ${\textstyle a\neq 0}$ e ${\textstyle \lambda _{i}\neq 0}$. Então substituindo:

$${\begin{aligned}\lambda _{r}'&=\alpha 'e^{-\lambda '_{r}}\cos \lambda _{i}'=0\end{aligned}}$$

Logo

$$\lambda _{i}'=\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right),n\in \mathbb {Z}$$

E substituindo:

$${\begin{aligned}\lambda _{i}'&=-\alpha 'e^{-\lambda '_{r}}\sin \lambda _{i}'\\\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=-\alpha '\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\end{aligned}}$$

Usando a propriedade ${\textstyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\sin b\cos a}$ então:

$${\begin{aligned}\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}\right)\cos \left(n\pi \right)+\sin \left(n\pi \right)\cos \left(\pm {\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\pm \sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\cos \left(n\pi \right)\\&\pm \left(-1\right)^{n}\end{aligned}}$$

Então:

$${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=\mp \left(-1\right)^{n}\alpha '\\\alpha '=&\left(-1\right)^{n}\left(\mp n\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$$

Então estes são os valores de ${\textstyle \alpha }$ em que temos ${\textstyle \lambda _{r}=0}$. Novamente pode ser visualizado via Geogebra:

((-1)^n (-n π - π / 2),0)
((-1)^n (+n π - π / 2),0)

Para ${\textstyle n=0}$, obtém-se então o ponto crítico desejado:

$$\alpha _{c2}=-{\frac {\pi }{2}}$$

O primeiro ponto no eixo negativo de ${\textstyle \alpha }$ em que tem-se ${\textstyle \lambda _{r}}$. Logo, o ponto de equilíbrio é estável se ${\textstyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}},0\right)}$, se não, é instável. Pode-se observador que os resultados obtidos para o caso em que os autovalores eram apenas reais está contido neste resultado.

A esquerda a solução para ${\textstyle \alpha =-2<\alpha _{c2}}$ e a direita para ${\textstyle \alpha _{c2}<\alpha =-2<\alpha _{c}<0}$, considerando como condição inicial ${\textstyle y_{0}=2}$.

Antes de concluir, pode-se prestar uma atenção especial para o ponto em que as soluções complexas encontram a solução real, este é exatamente o primeiro ponto crítico. Lembrando que o primeiro ponto crítico era ${\textstyle \left(a_{c},\lambda \right)=\left({\frac {1}{e}},-1\right)}$, este resultado concorda com a equação obtida para $\lambda _{i}=0$:

$$\alpha =\lambda _{r}e^{\lambda _{r}}=-e^{-1}$$

E também no limite das equações paramétricas:

$${\begin{aligned}\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\lambda _{r}&=-\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\cot \left(\lambda _{i}\right)\lambda _{i}=-1\\\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\alpha &=\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}-{\frac {\lambda _{i}}{\exp \left(\lambda _{i}\cot \left(\lambda _{i}\right)\right)\sin \lambda _{i}}}=-{\frac {1}{e}}\end{aligned}}$$

No Mathematica:

{Limit[-Cot[x]*x, x -> 0], Limit[-x/(Exp[x*Cot[x]]*Sin[x]), x -> 0]}

Principais materiais utilizados

1. Delay-Differential Equations (Richard Bertram, Universidade Estadual da Flórida)
2. Homogeneous Differential Equations (Paul Dawkins, Universidade de Lamar)

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