Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas

De Física Computacional
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Analisar a estabilidade local de equações diferenciais atrasadas é mais desafiador que realizar a mesma análise para equações diferenciais ordinárias. Isto ocorre devido a dimensionalidade infinita do sistema. Por exemplo considerando uma equação diferencial linear atrasada simples:

Onde , só há um único ponto de equilíbrio em . Para equações diferenciais ordinárias do tipo:

Assumindo que as soluções vão ser da forma , pode-se substituir:

Então este é o polinômio característico. E sua solução nos dá a solução para a equação diferencial. Por exemplo:

Logo . Esta solução pode ser conferida resolvendo diretamente esta EDO simples:

Agora supondo uma solução análoga para a equação com atraso:

E

Então a equação característica é:

Para as equações diferenciais ordinárias havia um polinômio e o teorema fundamental da álgebra permitia dizer quantas raízes esperar. Porém para as equações diferenciais atrasadas, não há teorema algum sobre a quantidade de raízes, este número poderia inclusive ser infinito. Como exemplo, pode-se considerar soluções reais e complexas separadamente conforme será visto na sequência.

Solução real

Supondo que a solução é real, pode-se plotar e separadamente, e então e procurar por intersecções. Isto é, quando os dois termos possuem o mesmo valor para um mesmo , pois consequentemente então . Se , há uma única intersecção, onde , então aumenta exponencialmente ao infinito quando . Desta forma, o ponto de equilíbrio é instável.

A esquerda o gráfico gerado para um valor qualquer em que , e a direita para três valores em que , especificamente em preto, em verde, e em azul.


Se pode haver 2 intersecções , 1 intersecção o ou nenhuma intersecção . Para identificar qual é este ponto crítico , basta perceber que neste ponto a reta é tangente à curva no ponto . Logo, a inclinação de ambos deve ser a mesma, . A inclinação da reta é simplesmente . Então a inclinação da curva também deve ser:


Substituindo a constante em :

Pode-se obter agora a partir da reta , . Dessa forma o valor crítico é então . Logo, se , então as raízes da equação característica são reais e negativas e a solução exponencial associada decai para com o tempo. As raízes também são chamadas de autovalores, termo que será empregado daqui em diante.

A esquerda a solução para e a direita para , considerando como condição inicial .


Para , não há decaimento ou crescimento exponencial nos componentes da solução, para isto vamos analisar as soluções complexas. As soluções podem ser obtidas numericamente via Mathematica:

sol = NDSolve[{y'[t] == -2.0*y[t - 1], y[t /; t <= 1] == 2}, y, {t, 0, 30];
Plot[y[t] /. sol, {t, 0, 30}, PlotRange -> All]

Solução Complexa

Substituindo então , na equação característica, obtém-se:

Logo:

Calculando a razão entre os termos:

Então utilizando como parâmetro, pode-se obter equações paramétricas para e :

Soluções das equações paramétricas. Em vermelho o caso especial quando .

Por conta da periodicidade das funções trigonométricas, muitas curva são traçadas quando varía-se entre e . Além, disto para então , desta forma pode-se plotar diretamente :

Utilizando o Geogebra, isto pode ser feito realizando cada entrada manualmente:

-x cotg(x)
d(x) = (-x)/(e^(x cotg(x)) sen(x))
Curva(d(u), c(u), u, -60 , 60)
x = y e^y


A solução geral é , onde o somatório é sobre todos os valores de para um dado parâmetro , então o estado de equilíbrio é estável para valores de em que todos os autovalores tem valores reais negativos. Ou seja, para valores entre e o eixo . pois para , então quando . Então o próximo passo é identificar segundo pronto crítico .

Ele ocorre quando e e . Então substituindo:

Logo


E substituindo:


Usando a propriedade então:

Então:Então estes são os valores de em que temos . Novamente pode ser visualizado via Geogebra:

((-1)^n (-n π - π / 2),0)
((-1)^n (+n π - π / 2),0)

Para , obtém-se então o ponto crítico desejado:

O primeiro ponto no eixo negativo de em que tem-se . Logo, o ponto de equilíbrio é estável se , se não, é instável. Pode-se observador que os resultados obtidos para o caso em que os autovalores eram apenas reais está contido neste resultado.

A esquerda a solução para e a direita para , considerando como condição inicial .

Antes de concluir, pode-se prestar uma atenção especial para o ponto em que as soluções complexas encontram a solução real, este é exatamente o primeiro ponto crítico. Lembrando que o primeiro ponto crítico era , este resultado concorda com a equação obtida para :

E também no limite das equações paramétricas:

No Mathematica:

{Limit[-Cot[x]*x, x -> 0], Limit[-x/(Exp[x*Cot[x]]*Sin[x]), x -> 0]}
Principais materiais utilizados
  1. Delay-Differential Equations (Richard Bertram, Universidade Estadual da Flórida)
  2. Homogeneous Differential Equations (Paul Dawkins, Universidade de Lamar)


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