Analisar a estabilidade local de equações diferenciais atrasadas é mais desafiador que realizar a mesma análise para equações diferenciais ordinárias. Isto ocorre devido a dimensionalidade infinita do sistema. Por exemplo considerando uma equação diferencial linear atrasada simples:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\alpha y_{\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43c853a353a4fb9c37c04674d4b35046c5c84db)
Onde
, só há um único ponto de equilíbrio em
. Para equações diferenciais ordinárias do tipo:
![{\displaystyle a_{n}y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\dots +a_{1}y^{'}+a_{0}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45f459a8b2165f61ff3e395194746203972515e)
Assumindo que as soluções vão ser da forma
, pode-se substituir:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Ce^{\lambda t}\left(a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}\right)&=0\\a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616fae8da3b187a5788f606e1f816a3fc3fa6fe1)
Então este é o polinômio característico. E sua solução nos dá a solução para a equação diferencial. Por exemplo:
![{\displaystyle y'-\alpha y=0\rightarrow \lambda =\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437f08fe648ed6aea3fabe3a62e2c6e7e3304833)
Logo
. Esta solução pode ser conferida resolvendo diretamente esta EDO simples:
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{y}}=\int \alpha dt\rightarrow y=Ce^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c66834423c450453587ab530ef3d62f3c9a32b1)
Agora supondo uma solução análoga
para a equação com atraso:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(Ce^{\lambda t}\right)=\lambda Ce^{\lambda t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca51ffded365f309540d4dd167fa9f80a5de6ce)
E
![{\displaystyle y\left(t-1\right)=Ce^{\lambda \left(t-1\right)}=Ce^{\lambda t}e^{-\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7041bfcd222ef0f27dae117331a4f193095661)
Então a equação característica é:
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'-\alpha y_{\tau }&=0\\\lambda Ce^{\lambda t}-\alpha Ce^{\lambda t}e^{-\lambda }&=0\\\lambda -\alpha e^{-\lambda }&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0570b4faeba09759b288d0037ff7b8c68dde160e)
Para as equações diferenciais ordinárias havia um polinômio e o teorema fundamental da álgebra permitia dizer quantas raízes esperar. Porém para as equações diferenciais atrasadas, não há teorema algum sobre a quantidade de raízes, este número poderia inclusive ser infinito. Como exemplo, pode-se considerar soluções reais e complexas separadamente conforme será visto na sequência.
Solução real
Supondo que a solução é real, pode-se plotar
e
separadamente, e então e procurar por intersecções. Isto é, quando os dois termos possuem o mesmo valor para um mesmo
, pois consequentemente então
. Se
, há uma única intersecção, onde
, então
aumenta exponencialmente ao infinito quando
. Desta forma, o ponto de equilíbrio é instável.
A esquerda o gráfico gerado para um valor qualquer em que
![{\displaystyle \alpha >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc)
, e a direita para três valores em que
![{\displaystyle \alpha <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d48dc3d4d98b4c949bf36f18559a74bc3d87b)
, especificamente
![{\displaystyle \alpha _{c}<\alpha <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f282f9650c50031aeb97e343a415b756771a79)
em preto,
![{\displaystyle \alpha =\alpha _{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923fb8b4229bade0339a3a922dfbf3f4d1f7b072)
em verde, e
![{\displaystyle \alpha <\alpha _{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123b4992d1d755ef8389ae663a63d2f01c6af8b8)
em azul.
Se
pode haver 2 intersecções
, 1 intersecção o
ou nenhuma intersecção
. Para identificar qual é este ponto crítico
, basta perceber que neste ponto a reta
é tangente à curva
no ponto
. Logo, a inclinação de ambos deve ser a mesma,
. A inclinação da reta
é simplesmente
. Então a inclinação da curva também deve ser:
![{\displaystyle m_{2}={\frac {dz_{2}}{d\lambda }}|\lambda _{c}=-\alpha _{c}e^{-\lambda _{c}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad435dc84abc5ba3f00f29f54b08912e222926cb)
![{\displaystyle \alpha _{c}=-e^{\lambda _{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c2bc1c2e92d70e9bd09344f844b1b1b9b8c40f)
Substituindo a constante
em
:
![{\displaystyle z_{c}=-e^{\lambda _{c}}e^{-\lambda _{c}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc319e79dd8662a08193eeb014f4b5ddfde21d49)
Pode-se obter agora
a partir da reta
,
. Dessa forma o valor crítico é então
. Logo, se
, então as raízes da equação característica são reais e negativas e a solução exponencial associada decai para
com o tempo. As raízes
também são chamadas de autovalores, termo que será empregado daqui em diante.
A esquerda a solução para
![{\textstyle \alpha =1>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1322c89f3b875ff1d742de7f0588844c0965095)
e a direita para
![{\textstyle \alpha _{c}\leq \alpha =-1<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536fbcb352e7430b64fe172267747d2e33eb9b83)
, considerando como condição inicial
![{\textstyle y_{0}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12ad8f01ca06ab2819c19e09a080f8a18fd542e)
.
Para
, não há decaimento ou crescimento exponencial nos componentes da solução, para isto vamos analisar as soluções complexas. As soluções podem ser obtidas numericamente via Mathematica:
sol = NDSolve[{y'[t] == -2.0*y[t - 1], y[t /; t <= 1] == 2}, y, {t, 0, 30];
Plot[y[t] /. sol, {t, 0, 30}, PlotRange -> All]
Solução Complexa
Substituindo então
, na equação característica, obtém-se:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda -\alpha e^{-\lambda }&=0\\\lambda &=\alpha e^{-\lambda }\\\lambda _{r}+i\lambda _{i}&=\alpha e^{\left[-\lambda _{r}-i\lambda _{i}\right]}\\\lambda _{r}+i\lambda _{i}&=\alpha e^{-\lambda _{r}}e^{-i\lambda _{i}}\\\left[\lambda _{r}\right]+i\left[\lambda _{i}\right]&=\left[\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}\right]+i\left[\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \left(-\lambda _{i}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ffcca924e66120d05ebe342d4edc480a8f5da0)
Logo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{r}&=+\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}\\\lambda _{i}&=-\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \lambda _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b461012905ecb78ae0c871c16dfb33047bc526d)
Calculando a razão entre os termos:
![{\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{i}}}={\frac {+\alpha e^{-\lambda _{r}}\cos \lambda _{i}}{-\alpha e^{-\lambda _{r}}\sin \lambda _{i}}}=-\cot \left(\lambda _{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7d9f4bc43b68bb8708b6c3c27337d82f94f4f9)
Então utilizando
como parâmetro, pode-se obter equações paramétricas para
e
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{r}&=-\cot \left(\lambda _{i}\right)\lambda _{i}\\\alpha &=-{\frac {\lambda _{i}}{\exp \left(\lambda _{i}\cot \left(\lambda _{i}\right)\right)\sin \lambda _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e859d298748bc2ba7da77119f729b6fac9a6bb54)
Soluções das equações paramétricas. Em vermelho o caso especial quando
![{\displaystyle \lambda _{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e6fe4f8c32a1667018c07eee61a92dfdf9b19f)
.
Por conta da periodicidade das funções trigonométricas, muitas curva são traçadas quando varía-se
entre
e
. Além, disto para
então
, desta forma pode-se plotar diretamente
:
![{\displaystyle \alpha =\lambda _{r}e^{\lambda _{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c218165e2f143450e166209b9f4aa2ce5decb05)
Ele ocorre quando
e
e
. Então substituindo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{r}'&=\alpha 'e^{-\lambda '_{r}}\cos \lambda _{i}'=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099ba49af3ffa12046c6abac630fb83dc58c44bf)
Logo
![{\displaystyle \lambda _{i}'=\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right),n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c5739ba35f38d7ea308584ca94882c0f5ecf61)
E substituindo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}'&=-\alpha 'e^{-\lambda '_{r}}\sin \lambda _{i}'\\\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=-\alpha '\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c965714b6c5ede296556209e196c29aa12e168)
Usando a propriedade
então:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=\sin \left(\pm {\frac {\pi }{2}}\right)\cos \left(n\pi \right)+\sin \left(n\pi \right)\cos \left(\pm {\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\pm \sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\cos \left(n\pi \right)\\&\pm \left(-1\right)^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a9808251f2228450fbf8e43c300820c68bf78a)
Então:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)&=\mp \left(-1\right)^{n}\alpha '\\\alpha '=&\left(-1\right)^{n}\left(\mp n\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482500ac9b14ee75962c23a6fd6f046ed2ad8e9c)
Então estes são os valores de
![{\textstyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d86dbd6183264b2f8569da1751380b173c7b185)
em que temos
![{\textstyle \lambda _{r}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1f9c839d71e641c3d50bccbd2891da9b219296)
. Novamente pode ser visualizado via Geogebra:
((-1)^n (-n π - π / 2),0)
((-1)^n (+n π - π / 2),0)
Para
, obtém-se então o ponto crítico desejado:
![{\displaystyle \alpha _{c2}=-{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872f0a398dba44c701264e6c8e34809aaba208fa)
O primeiro ponto no eixo negativo de
em que tem-se
. Logo, o ponto de equilíbrio é estável se
, se não, é instável. Pode-se observador que os resultados obtidos para o caso em que os autovalores eram apenas reais está contido neste resultado.
A esquerda a solução para
![{\textstyle \alpha =-2<\alpha _{c2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1120488e5e3d99e83e59732ced1e0d778290ec8)
e a direita para
![{\textstyle \alpha _{c2}<\alpha =-2<\alpha _{c}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1facdeb08dfaeb34b20b0fedbb338cd423e4b04b)
, considerando como condição inicial
![{\textstyle y_{0}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12ad8f01ca06ab2819c19e09a080f8a18fd542e)
.
Antes de concluir, pode-se prestar uma atenção especial para o ponto em que as soluções complexas encontram a solução real, este é exatamente o primeiro ponto crítico. Lembrando que o primeiro ponto crítico era
, este resultado concorda com a equação obtida para
:
![{\displaystyle \alpha =\lambda _{r}e^{\lambda _{r}}=-e^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce112c187ee464c63896c0a0c635e20d2ab656e)
E também no limite das equações paramétricas:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\lambda _{r}&=-\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\cot \left(\lambda _{i}\right)\lambda _{i}=-1\\\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}\alpha &=\lim _{\lambda _{i}\rightarrow 0}-{\frac {\lambda _{i}}{\exp \left(\lambda _{i}\cot \left(\lambda _{i}\right)\right)\sin \lambda _{i}}}=-{\frac {1}{e}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832635c5bf0184a5b21e826cc388d6070d2e881f)
No Mathematica:
{Limit[-Cot[x]*x, x -> 0], Limit[-x/(Exp[x*Cot[x]]*Sin[x]), x -> 0]}
Principais materiais utilizados
- Delay-Differential Equations (Richard Bertram, Universidade Estadual da Flórida)
- Homogeneous Differential Equations (Paul Dawkins, Universidade de Lamar)