Estabilidade

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Antes de tudo, é interessante citar algumas ferramentas normalmente usadas para investigar a estabilidade de sistemas com atraso temporais : teoria de Razumikhin, aproximação com a função de Lambert, Teoria de Lyapunov-Krasovskii e considerações de autovalores para sistemas lineares.

Começando então com algumas definições de estabilidade, considerando o seguinte problema:

$${\begin{aligned}{\dot {x}}\left(t\right)&=f\left(t,x_{t}\right)&t\geq t_{0}\\x\left(t\right)&=x_{0}&t=t_{0}\\x\left(t\right)&=\varphi \left(t\right)&t_{0}-\tau _{max}\leq t<t_{0}\end{aligned}}$$

Então algumas definições:

• Definição: Uma função constante ${\textstyle \phi _{e}}$ é chamada de estado de equilíbrio se ${\textstyle f\left(t,\phi _{e}\right)=0}$ para todo ${\textstyle t>t_{0}}$. Ainda que tenha mais de um estado de equilíbrio, a análise de qualquer ponto pode ser reduzida a uma analise do equilíbrio zero.
• Definição:O estado de equilíbrio ${\textstyle \phi _{e}=0}$ é estável no sentido de Lyapunov se para quaisquer números positivos ${\textstyle t_{0}}$ e ${\textstyle \varepsilon }$ existe um ${\textstyle \delta \left(\varepsilon ,t_{0}\right)}$ em que cada solução contínua do sistema que satisfaça:

$${\begin{aligned}max\left|x\left(t\right)\right|\leq \delta \left(\varepsilon ,t_{0}\right)&&t_{0}\leq t\leq t_{0}+\tau _{max}\end{aligned}}$$

Também satisfaça:

$${\begin{aligned}max\left|x\left(t\right)\right|\leq \varepsilon &&t_{0}\leq t\leq \infty \end{aligned}}$$

• Definição: O estado de equilíbrio ${\textstyle \phi _{e}=0}$ é assintoticamente estável se toda solução contínua também satisfaz ${\textstyle \lim _{t\rightarrow \infty }x\left(t\right)\rightarrow 0}$.

Nas definições acima o número ${\textstyle \delta }$ depende de ${\textstyle t_{0}}$e ${\textstyle \varepsilon }$. Se ${\textstyle \delta >0}$ pode ser encontrado independente de ${\textstyle t_{0}}$ a solução ${\textstyle \phi _{e}}$ é chamada de uniformemente e assintoticamente estável.

Autovalores

O método explorado aqui será utilizando considerações de autovalores. Um caso especial de equação diferencial com atraso é dado por:

$${\dot {x}}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum _{i=1}^{k}A_{i}x\left(t-\tau _{i}\right)+\int _{-h}^{0}A_{01}\left(\Theta \right)x\left(t+\Theta \right)d\Theta$$

Onde os elementos da matriz ${\textstyle A_{01}\left(\Theta \right)}$ são contínuos e finitos. Então a equação característica é dada por:

$$\det \left[\Delta \left(s\right)\right]=\det \left[sI-A_{0}-\sum _{i=1}^{k}A_{i}e^{-s\tau _{i}}-\int _{-h}^{0}A_{01}e^{s\Theta }d\Theta \right]$$

Sendo ${\textstyle Re\left(s\right)}$ a parte real de ${\textstyle s}$, o sistema é assintoticamente e uniformemente estável se:

$$Re\left(s\right)<0$$

Para todo ${\textstyle s\in \mathbb {C} }$ que satisfaça ${\textstyle \det \left[\Delta \left(s\right)\right]=0}$.

Principais materiais utilizados:

• Stability and stabilization of time-delay systems (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

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