Introdução à equações diferenciais com atraso

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Antes de começar, duas curiosidades é que a necessidade de trabalhar com equações diferenciais com atrasos tem como um dos marcos iniciais ter sido enfatizado inicialmente por Lotka em modelos epidemiológicos de malária, e a história do desenvolvimento das equações diferenciais com atraso se mistura com das equações intetegro-diferenciais.

Prosseguindo, definindo então $x\left(t\right)$ como uma variável $n-dimensional$ que descreve o comportamento de um processo no intervalo $[t_0-{\tau }_{max},t_1]$, para definir uma equação diferencial funcional (functional differential equation - FDE) precisamos definir:

• $T_1\left(t\right)$ e $T_2\left(t\right)$ são conjuntos de números reais dependentes do tempo definido para todo $t\in [t_0,t_1]$;
• $x$ é uma função contínua em $[t_0,t_1]$;
  • $\dot{x}\left(t\right)$ é a derivada de $x$.
• Para cada $t\in [t_0,t_1]$, tem-se $x_t\left(s\right)=x(t+s)$ onde $s\in T_1\left(t\right)$;
  • Da mesma forma ${\dot{x}}_t\left(s\right)=\dot{x}(t+s)$ onde $s\in T_2\left(t\right)$.

Ou seja, para cada instante $t$, temos uma função $x_t\left(s\right)$ que é a função $x$ no instante $t$ deslocada no tempo por uma quantidade $s$, onde $s$ é retirado do conjunto $T_1\left(t\right)$ no instante $t$. Um ponto importante é que $x\left(t\right),T_1\left(t\right)$ e $T_2\left(T\right)$ são $n-dimensionais$, então podem representar um sistema de equações. Podemos dizer que $x$ satisfaz uma FDE se para quase todo $t\in [t_0,t_1]$a seguinte igualdade é válida:

$$\dot{x}\left(t\right)=f(t,x_t,{\dot{x}}_t,u\left(t\right))$$

Classificação das FDE e RFDE de acordo com Gerhard Manfred Schoen (1995).

Onde $u\left(t\right)$ é chamado muitas vezes de entrada na teoria de controle e é dado para todo o intervalo de tempo necessário. Essa equação contém três tipos de equações diferenciais:

• Equação diferencial funcional com retardo (retarded functional differential equations - RFDE): Se $T_1\left(t\right)\subset (-\mathrm{\infty },0]$ e $T_2\left(t\right)=\oslash$. Isto é, a condição para $T_2$ implica que não depende da derivada de $x_t$ e a primeira condição implica que o deslocamento representa sempre um atraso. Denotando $T\subset [0,\mathrm{\infty })$, então $x_t\left(s\right)=x(t-s)$ onde $s\ge 0$.

$$\dot{x}\left(t\right)=f(t,x_t,u\left(t\right))$$

Ou seja, em outras palavras, a taxa da variação do estado de uma RFDE é determinado pela entrada $u\left(t\right)$, bem como os estados atuais e passados do sistema.. Em teoria do controle é chamado de sistema com atraso no tempo.

• Equação diferencial funcional neutral (neutral functional differential equations - NFDE): Se a taxa de variação do sistema depende dos seus valores passados, incluindo a derivada, isto é $T_1\left(t\right)\subset (-\mathrm{\infty },0]$ e $T_2\left(t\right)\subset (-\mathrm{\infty },0]$. Um exemplo de sistema escalar linear seria:

$$\dot{x}\left(t\right)=\dot{x}(t-1)+x\left(t\right)+u\left(t\right)$$

• Equação diferencioal funcional avançada (Advanced functional differential equations - AFDE): parecido com RFDE, mas ao invés do atraso, temos um avanço, isto é $T_1\left(t\right)\subset [0,\mathrm{\infty })$ e $T_2\left(t\right)=\oslash$. Neste caso a taxa de variação do sistema depende dos seus atuais e futuros valores, além da entrada $u\left(t\right)$.

Uma observação é que RFDE se converte em AFDE para $t<0$ e vice-versa. O foco nos próximos tópicos será em RFDE. Se o conjunto $T_1\left(t\right)$ é finito para cada $t\in [t_0,t_1]$, então é chamado de FDE com atrasos discretos. Se $T_1\left(t\right)$ é contínuo, então os atrasos são distribuídos. No caso de atrasos discretos, ainda podemos separar em sistemas em que os atrasos são relacionados por inteiros, chamando-os de atrasos comensuráveis. Como por exemplo:

$$\dot{x}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum _{i=1}^k{A}_{i}x(t-ih)$$

E quando não estão relacionados é chamado de incomensuráveis.

Principais materiais utilizados:

• Stability and stabilization of time-delay systems (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

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