Introdução à equações diferenciais com atraso

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Antes de começar, duas curiosidades é que a necessidade de trabalhar com equações diferenciais com atrasos tem como um dos marcos iniciais ter sido enfatizado inicialmente por Lotka em modelos epidemiológicos de malária, e a história do desenvolvimento das equações diferenciais com atraso se mistura com das equações intetegro-diferenciais.

Prosseguindo, definindo então ${\textstyle x\left(t\right)}$ como uma variável ${\textstyle n-dimensional}$ que descreve o comportamento de um processo no intervalo ${\textstyle \left[t_{0}-\tau _{max},t_{1}\right]}$, para definir uma equação diferencial funcional (functional differential equation - FDE) precisamos definir:

• ${\textstyle T_{1}\left(t\right)}$ e ${\textstyle T_{2}\left(t\right)}$ são conjuntos de números reais dependentes do tempo definido para todo ${\textstyle t\in \left[t_{0},t_{1}\right]}$;
• ${\textstyle x}$ é uma função contínua em ${\textstyle \left[t_{0},t_{1}\right]}$;
  • ${\textstyle {\dot {x}}\left(t\right)}$ é a derivada de ${\textstyle x}$.
• Para cada ${\textstyle t\in \left[t_{0},t_{1}\right]}$, tem-se ${\textstyle x_{t}\left(s\right)=x\left(t+s\right)}$ onde ${\textstyle s\in T_{1}\left(t\right)}$;
  • Da mesma forma ${\textstyle {\dot {x}}_{t}\left(s\right)={\dot {x}}\left(t+s\right)}$ onde ${\textstyle s\in T_{2}\left(t\right)}$.

Ou seja, para cada instante ${\textstyle t}$, temos uma função ${\textstyle x_{t}\left(s\right)}$ que é a função ${\textstyle x}$ no instante ${\textstyle t}$ deslocada no tempo por uma quantidade ${\textstyle s}$, onde ${\textstyle s}$ é retirado do conjunto ${\textstyle T_{1}\left(t\right)}$ no instante ${\textstyle t}$. Um ponto importante é que ${\textstyle x\left(t\right),T_{1}\left(t\right)}$ e ${\textstyle T_{2}\left(T\right)}$ são $n-dimensionais$, então podem representar um sistema de equações. Podemos dizer que ${\textstyle x}$ satisfaz uma FDE se para quase todo ${\textstyle t\in \left[t_{0},t_{1}\right]}$a seguinte igualdade é válida:

$${\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x_{t},{\dot {x}}_{t},u\left(t\right)\right)$$

Classificação das FDE e RFDE de acordo com Gerhard Manfred Schoen (1995).

Onde ${\textstyle u\left(t\right)}$ é chamado muitas vezes de entrada na teoria de controle e é dado para todo o intervalo de tempo necessário. Essa equação contém três tipos de equações diferenciais:

• Equação diferencial funcional com retardo (retarded functional differential equations - RFDE): Se ${\textstyle T_{1}\left(t\right)\subset \left(-\infty ,0\right]}$ e ${\textstyle T_{2}\left(t\right)=\oslash }$. Isto é, a condição para ${\textstyle T_{2}}$ implica que não depende da derivada de ${\textstyle x_{t}}$ e a primeira condição implica que o deslocamento representa sempre um atraso. Denotando ${\textstyle T\subset \left[0,\infty \right)}$, então ${\textstyle x_{t}\left(s\right)=x\left(t-s\right)}$ onde ${\textstyle s\geq 0}$.

$${\dot {x}}\left(t\right)=f\left(t,x_{t},u\left(t\right)\right)$$

Ou seja, em outras palavras, a taxa da variação do estado de uma RFDE é determinado pela entrada ${\textstyle u\left(t\right)}$, bem como os estados atuais e passados do sistema.. Em teoria do controle é chamado de sistema com atraso no tempo.

• Equação diferencial funcional neutral (neutral functional differential equations - NFDE): Se a taxa de variação do sistema depende dos seus valores passados, incluindo a derivada, isto é ${\textstyle T_{1}\left(t\right)\subset \left(-\infty ,0\right]}$ e ${\textstyle T_{2}\left(t\right)\subset \left(-\infty ,0\right]}$. Um exemplo de sistema escalar linear seria:

$${\dot {x}}\left(t\right)={\dot {x}}\left(t-1\right)+x\left(t\right)+u\left(t\right)$$

• Equação diferencioal funcional avançada (Advanced functional differential equations - AFDE): parecido com RFDE, mas ao invés do atraso, temos um avanço, isto é ${\textstyle T_{1}\left(t\right)\subset \left[0,\infty \right)}$ e ${\textstyle T_{2}\left(t\right)=\oslash }$. Neste caso a taxa de variação do sistema depende dos seus atuais e futuros valores, além da entrada ${\textstyle u\left(t\right)}$.

Uma observação é que RFDE se converte em AFDE para ${\textstyle t<0}$ e vice-versa. O foco nos próximos tópicos será em RFDE. Se o conjunto ${\textstyle T_{1}\left(t\right)}$ é finito para cada ${\textstyle t\in \left[t_{0},t_{1}\right]}$, então é chamado de FDE com atrasos discretos. Se ${\textstyle T_{1}\left(t\right)}$ é contínuo, então os atrasos são distribuídos. No caso de atrasos discretos, ainda podemos separar em sistemas em que os atrasos são relacionados por inteiros, chamando-os de atrasos comensuráveis. Como por exemplo:

$${\dot {x}}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum _{i=1}^{k}A_{i}x\left(t-ih\right)$$

E quando não estão relacionados é chamado de incomensuráveis.

Principais materiais utilizados:

• Stability and stabilization of time-delay systems (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

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