Modelo de Lotka-Volterra

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Ecologia No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:

• Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
• Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
• O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
  • Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.

Dessa forma, as equações são:

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dx}{dt}=x\left(a-\alpha y\right)}
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dy}{dt}=y\left(-c+\gamma x\right)}

Onde:

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a:} taxa de crescimento de presas sem predadores;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha:} taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c:} taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \gamma} : taxa de crescimento de predadores devido a predação.

Separação de variáveis

Por separações de variáveis:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{y\left(-c+\gamma x\right)}{x\left(a-\alpha y\right)}}

logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\left(-c+\gamma x\right)}{x\left(a-\alpha y\right)}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\left(a-\alpha y\right)}{y}dy=\frac{\left(-c+\gamma x\right)}{x}dx} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{a}{y}-\alpha\right)dy=\left(-\frac{c}{x}+\gamma\right)dx} Integrando ambos os lados, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\ln y-\alpha y=-c\ln x+\gamma x+C} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\ln y-\alpha y+c\ln x-\gamma x=C}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle C} é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a=\alpha=\gamma=c=1} Temos então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y+\ln x-\left(x+y\right)=C}

Retornando as equações de Lotka-Volterra, podemos ver que o equilíbrio é alcançado, com os nossos parâmetros, quando:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dt}=x\left(a-\alpha y\right)=0\rightarrow y=\frac{a}{\alpha}=1} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=y\left(-c+\gamma x\right)=0\rightarrow x=\frac{c}{\gamma}=1}

Então neste caso, o sistema oscila em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(1,1\right)} e a constante Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle C} é definida pelas condições iniciais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(x_{0},y_{0}\right)} . Nós temos que quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{0}=y_{0}=1} , então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln1+\ln1-\left(1+1\right)=C} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2=C}

Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln y+\ln x-\left(x+y\right)+2=0}

Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio, para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x,y\right)=\ln y+\ln x-\left(x+y\right)-C} com as condições Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=\alpha=c=\gamma=1} e condição inicial arbitrária.

Obviamente além do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(1,1\right)} , temos um ponto de equilíbrio em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(0,0\right)} . Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.

Linearização em torno do ponto de equilíbrio

Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(0,0\right)} , verificando que satisfaz:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\left[\frac{\text{parte não linear}}{\text{parte linear}}\right]=0}

Então lembrando as equações:

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dx}{dt}=\left[xa\right]-\left(\alpha xy\right)=\left[\text{linear}\right]-\left(\text{não linear}\right)}
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dy}{dt}=-\left[yc\right]+\left(\gamma yx\right)=-\left[\text{linear}\right]+\left(\text{não linear}\right)}

Logo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\alpha xy}{xa}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\alpha}{a}y=0} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\gamma xy}{cy}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}-\frac{\gamma}{c}x=0}

Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & -c \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)} Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\left(a-\lambda\right)\left(-c-\lambda\right)=0} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(a-\lambda\right)\left(c+\lambda\right)=0}

Os seguintes autovalores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda=\left\{ a,-c\right\}} . Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(0,0\right)} , a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.

Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)} . Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u=x-\frac{c}{\gamma}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle v=y-\frac{a}{\alpha}} . Então temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dx=du} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dv=dy} e substituindo, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}} :Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=\left(u+\frac{c}{\gamma}\right)a-\alpha\left(u+\frac{c}{\gamma}\right)\left(v+\frac{a}{\alpha}\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=ua+\frac{c}{\gamma}a-\alpha uv-\frac{\alpha c}{\gamma}v-ua-\frac{ca}{\gamma}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dt}=-\alpha uv-\frac{\alpha c}{\gamma}v} E para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{y}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dv}{dt}=-\left(v+\frac{a}{\alpha}\right)c+\gamma\left(v+\frac{a}{\alpha}\right)\left(u+\frac{c}{\gamma}\right)}

$${\frac {dv}{dt}}=-cv-{\frac {ca}{\alpha }}+\gamma vu+{\frac {\gamma a}{\alpha }}u+cv+{\frac {ca}{\alpha }}$$

$${\frac {dv}{dt}}=\gamma vu+{\frac {\gamma a}{\alpha }}u$$

Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:

$$\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\alpha uv}{\frac {\alpha vc}{\gamma }}}=\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}-{\frac {\gamma }{c}}u=0$$

$$\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\gamma vu}{\frac {\gamma au}{\alpha }}}=\lim _{\left(u,v\right)\rightarrow \left(0,0\right)}{\frac {\alpha }{a}}v=0$$

Desprezando os termos não lineares então:

$$\left({\begin{array}{c}{\dot {u}}\\{\dot {v}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-{\frac {\alpha c}{\gamma }}\\{\frac {\gamma a}{\alpha }}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$$

Então os autovalores correspondentes:

$$-\lambda ^{2}-{\frac {\gamma a}{\alpha }}{\frac {\alpha c}{\gamma }}=0$$

$$\lambda =\pm {\sqrt {-ac}}=\pm {\sqrt {ac}}i$$

Como temos raízes puramente imaginárias e ${\textstyle \lambda _{1}=\lambda _{2}^{*}}$, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de ${\textstyle \left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {a}{\alpha }}\right)}$ o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.

Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores.

Segundo método de Lyapunov

Utilizando o segundo método de Lyapunov então para o segundo ponto de equilíbrio ${\textstyle \left(x_{2},y_{2}\right)=\left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {a}{\alpha }}\right)}$ podemos manipular:

• ${\textstyle {\frac {dx}{dt}}=x\left(a-\alpha y\right)=x\alpha \left({\frac {a}{\alpha }}-y\right)=x\alpha \left(y_{2}-y\right)}$
• ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}=y\left(-c+\gamma x\right)=y\gamma \left(-{\frac {c}{\gamma }}+x\right)=y\gamma \left(-x_{2}+x\right)}$

Definindo então a seguinte função de Lyapunov:

$$V\left(x,y\right)=x-x_{2}\left[1+\ln \left({\frac {x}{x_{2}}}\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y-y_{2}\left[1+\ln \left({\frac {y}{y_{2}}}\right)\right]\right)$$

Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:

$${\begin{aligned}V\left(x_{2},y_{2}\right)&=x_{2}-x_{2}\left[1+\ln \left({\frac {x_{2}}{x_{2}}}\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y_{2}-y_{2}\left[1+\ln \left({\frac {y_{2}}{y_{2}}}\right)\right]\right)\\&=x_{2}-x_{2}+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(y_{2}-y_{2}\right)\\&=0\end{aligned}}$$

Agora precisamos que para ${\textstyle \left(x,y\right)\neq 0}$ tenhamos ${\textstyle V>0}$, na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:

$${\begin{aligned}V\left(x,y\right)&=\left[x-x_{2}\left(1+\ln \left({\frac {x}{x_{2}}}\right)\right)\right]+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left[y-y_{2}\left(1+\ln \left({\frac {y}{y_{2}}}\right)\right)\right]\\&=V\left(x\right)+{\frac {\alpha }{\gamma }}V\left(y\right)\end{aligned}}$$

De forma geral temos ${\textstyle V\left(z\right)=z-z_{2}\left(1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\right)}$, e precisamos que ${\textstyle V\left(z\right)>0}$ quando ${\textstyle z\neq z_{2}}$. Isso é facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis ${\textstyle z,z_{2}\in \left[0,1\right]}$. Ou também analisando a seguinte desigualdade:

$${\begin{aligned}z-z_{2}\left(1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\right)&>0\\z&>z_{2}\left(1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\right)\\{\frac {z}{z_{2}}}&>1+\ln \left({\frac {z}{z_{2}}}\right)\\e^{\frac {z}{z_{2}}}&>e{\frac {z}{z_{2}}}\\e^{x}&>ex\end{aligned}}$$

Podemos ver quer o único valor que essa desigualdade não vale é quando ${\textstyle x=1}$ mas como ${\textstyle x={\frac {z}{z_{2}}}}$ então ${\textstyle x=1\rightarrow z=z_{2}}$, e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que ${\textstyle V\left(x,y\right)}$ é positivo definido, calculamos então:

$${\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]\\&=\left[{\frac {\partial V\left(x\right)}{\partial x}},{\frac {\alpha }{\gamma }}{\frac {\partial V\left(y\right)}{\partial y}}\right]\cdot \left[x\alpha \left(y_{2}-y\right),y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right]\\&=\left[1-{\frac {x_{2}}{x}},{\frac {\alpha }{\gamma }}\left(1-{\frac {y_{2}}{y}}\right)\right]\cdot \left[x\alpha \left(y_{2}-y\right),y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right]\\&=\left({\frac {x-x_{2}}{x}}\right)\left(x\alpha \left(y_{2}-y\right)\right)+{\frac {\alpha }{\gamma }}\left({\frac {y-y_{2}}{y}}\right)\left(y\gamma \left(-x_{2}+x\right)\right)\end{aligned}}$$

Então:

$${\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\alpha \left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha \left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0$$

Temos então a condição de estabilidade ${\textstyle {\dot {V}}\geq 0}$ concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.E para avaliar o ponto ${\textstyle \left(x_{1},y_{1}\right)=\left(0,0\right)}$, podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:

$$V\left({\boldsymbol {x}}\right)={\frac {x^{2}}{\alpha }}-{\frac {y^{2}}{\gamma }}$$

Como já discutimos ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}_{0}\right)=0}$ e a região ${\textstyle W^{+}\left\{\left(x,y\right)|\left|x\right|>\left|y\right|\right\}}$ onde ${\textstyle V\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ para ${\textstyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {x}}_{0}}$ , sendo ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ um ponto de acumulação em ${\textstyle W^{+}}$. Então:

$${\begin{aligned}{\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left[\nabla V\right]\cdot \left[{\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right]\\&=\left({\frac {2x}{\alpha }},-{\frac {2y}{\gamma }}\right)\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)\\&=2x^{2}{\frac {a}{\alpha }}-2x^{2}y+2y^{2}{\frac {c}{\gamma }}-2y^{2}x\\&=2x^{2}\left({\frac {a}{\alpha }}-y\right)+2y^{2}\left({\frac {c}{\gamma }}-x\right)\end{aligned}}$$

Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio ${\textstyle \left(x_{2},y_{2}\right)=\left({\frac {c}{\gamma }},{\frac {a}{\alpha }}\right)}$:

$${\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2x^{2}\left(y_{2}-y\right)+2y^{2}\left(x_{2}-x\right)$$

Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise ${\textstyle \left(x_{1},y_{1}\right)=\left(0,0\right)}$, temos então uma instabilidade local pois ${\textstyle {\dot {V}}\left({\boldsymbol {x}}\right)>0}$ é positivo definido em ${\textstyle W^{+}}$, uma vez que ${\textstyle \left|y\right|<\left|y_{2}\right|}$ , ${\textstyle \left|x\right|<\left|x_{2}\right|}$.

Principais materiais utilizados

1. A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
2. Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
3. Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
4. Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)