Simulação e modelo de campo médio
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Uma teoria de campo médio em redes complexas pode ser definida como como uma teoria em que se assume que os elementos da rede interagem com igual força com qualquer outro elemento da rede. Olhando para o modelo de 2 presas e 1 predador, supondo uma grade tendo dos fragmento destruídos, um estado possível da rede, em uma representação de grafos, poderia ser:
Onde cada elemento representa um fragmento da grade que não está destruído. Por questões de representação foi omitido, mas é importante lembrar que cada elemento da rede pode interagir também consigo mesmo. Então cada fragmento da grade, ou elemento desta rede, pode estar livre ou ocupado pelas espécies, com qualquer uma das combinações possíveis de ocupação. Podemos perceber que não é um modelo de campo médio. Para compreender melhor os modelos de campo médio que são propostos, vamos tentar construir um modelo de rede que se aproxime melhor do que é proposto no campo campo médio, isto é, utilizar as considerações do mesmo na construção da rede. O principal componente é ignorar a distribuição espacial das espécies. Uma representação em grafo deste nova rede poderia por exemplo:
Ou seja, qualquer elemento pode interagir com qualquer outro, não há mais a restrição de distância como no modelo original. Na prática, durante a implementação então será considerado que cada agente pode colonizar qualquer outro agente da rede, assim como o predador pode predar qualquer presa na rede, de forma análoga o competidor superior também pode deslocar qualquer competidor inferior. Basicamente os eventos síncronos serão os seguintes:
- Colonização: para cada elemento ocupado pela espécie , sorteia-se um outro elemento aleatoriamente, se este for disponível para colonização, a probabilidade desta ocorrer é .
- Extinção local: se o elemento estiver colonizado pela espécie ,há uma probabilidade de ocorrer extinção local desta espécie.
- Predação: para cada elemento ocupado pelo predador sorteia-se outros dois elementos aleatoriamente, cada um dos elementos sorteados tem como alvo uma espécie diferente. Em ambos os casos então, se o elemento sorteado este estiver ocupado pela presa , a predação pode ocorrer com uma probabilidade .
- Deslocamento competitivo: para cada elemento ocupado pelo competidor superior sorteia-se outro elemento aleatoriamente, se este estiver ocupado pelo competidor inferior então há uma probabilidade de ocorrer a remoção do competidor inferior..
A proposta acima consiste de que em cada passo seja percorrido cada elemento da rede. Então para cada elemento realiza-se as 4 etapas anteriores de maneira síncrona de acordo com a ocupação da mesma. Outra proposta seria para cada passo, realizar apenas uma vez cada uma das etapas. Então nesta proposta quando envolver a interação entre duas espécies sorteia-se os dois elementos aleatoriamente, e quando envolver apenas uma espécie apenas um elemento é sorteado.
Um detalhe importante é a quantidade de conexões que cada agente pode ter. Por exemplo, na simulação original uma espécie ocupando um fragmento, poderia colonizar os 4 fragmentos primeiro-vizinhos (desde que estivessem disponível). Nesta proposta, cada vez que estamos avaliando a dinâmica de um elemento com uma espécie, avaliamos se ocorreu ou não a colonização em um único outro elemento. Sendo quantidade de conexões possíveis em um elemento , poderíamos considerar que a probabilidade de um agente se conectar com um agente seja dado por , onde é a quantidade total de conexões que existem na rede.
Comparando este modelo proposto, com o seguinte modelo de campo médio:
Tem-se então, para :
Observa-se um comportamento bastante semelhante. A mesma ideia foi trabalhada com o modelo de 2 herbívoros com dinâmica de fragmentos . Neste caso o modelo de campo médio é:
A dinâmica de colonização e deslocamento é essencialmente a mesma do modelo interior, a novidade concentra-se na dinâmica dos fragmentos. Após o instante , quando percorre-se a rede no passo atual para avaliar a dinâmica de e , ao mesmo tempo explora-se a rede no passo (no passado), onde caso o elemento esteja ocupado por , então seleciona-se outro elemento aleatoriamente e uma vez que este represente um fragmento não destruído, há uma probabilidade de que seja destruído. De modo análogo após o instante avalia-se a rede atrasada no passo , e novamente caso o elemento esteja ocupado pela espécie , seleciona-se outro elemento aleatoriamente, porém agora caso este esteja destruído, então há a probabilidade de ser recuperado. O resultado desta etapa da dinâmica de fragmentos, seja a destruição ou a recuperação do fragmento, é aplicado na rede atual em algum elemento aleatório.
Quando foi implementado este modelo proposto, pode-se perceber um comportamento qualitativo próximo, mas menos semelhante que o caso anterior. A principal diferença parece ser pelo comportamento das ovelhas. Um dos motivos que pode ser, é que quando olhamos o termo de colonização das ovelhas no modelo de campo médio, a componente referente à quantidade de fragmento disponíveis para colonização é. Isto decorre porque precisamos descontar não só o fragmento disponívis, mas também os fragmentos que estão ocupados por ovelhas ou guanacos. A a probabilidade de selecionar um fragmento ocupado por um ou outro é , como foi considerado eventos independentes, então . Porém conforme a dinâmica evolui, a distribuição das ovelhas e dos guanacos não é mais completamente aleatório e independente, pois as ovelhas não podem ocupar fragmentos já ocupados por guanacos. Isto é, a quantidade de fragmentos ocupados por ovelhas e guanacos na simulação é menor do que o previsto considerando que sejam eventos aleatórios. Conforme a ocupação dos fragmentos se aproxima de 100% e a população de guanaco cresce, as ovelhas encontram menos fragmento disponíveis para colonizar do que o previsto pelo campo médio.
Por isto foi adicionado uma etapa de ’espalhamento’ no começo de cada passo, ou seja todos os indivíduos são aleatoriamente redistribuídos ao longo da rede, inclusive os fragmentos destruídos também são redistribuídos. Desta forma obteve-se os eguinte resultado:
Pode-se observar que o resultado se aproxima melhor do modelo de campo médio que o resultado anterior. Caso houvesse interesse em aproximar ainda mais os modelos, uma sugestão seria explorar a quantidade de conexões entre os fragmentos de uma forma mais elaborada ou ainda a relação entre a passagem do tempo nas equações diferenciais e na simulação. Mas acredito que neste momento já foi demonstrado semelhanças suficientes entre os modelos. Para esta simulação foi adotado o equivalente a 2 passos no modelo de agentes como , por exemplo, no sistema de equações foi utilizado e no modelo de agentes , mas manteve-se a mesma razão .
Códigos
Os códigos referente à solução dos sistemas de equações diferenciais estão disponíveis nas respectivas páginas. Sobre as redes, ambos os códigos foram desenvolvidos em Python, e para a primeira rede discutida o código utilizado foi:
# -*- coding: UTF-8 -*- # "Rede média" para o modelo de 2 herbívoros e um carnívoro # Jhordan Silveira de Borba # sbjhordan@gmail.com #Bibliotecas import numpy as np # Biblioteca de funções matemáticas import copy # Biblioteca com funções para copiar import random # Biblioteca para gerar números aleatórios #CONDIÇÕES INICIAIS ------------------------------------------------------ maxt = 5000 #tiempo total de cada realizacion Lx = 200 #tamaño del sustrato Ly = 200 #Fracciones iniciales D = 0.4 #fraccion inicial de sitios destruidos x10 = 0.2 #fraccion inicial de sitios libres ocupados por x1 x20 = 0.2 #fraccion inicial de sitios libres ocupados por x2 y0 = 0.2 #fraccion inicial de sitios ocupdos por guanacos e ovelhas ocupados por y #Tasas M=4 cx1 = M*0.05 #colonizaciones cx2 = M*0.1 cy = M*0.015 ex1 = 0.05 #extinciones ex2 = 0.01 ey = 0.02 mx1y = 0.2 #depredaciones mx2y = 0.8 con=1 #controle de registro #Inicializaciones s = np.full((Lx, Ly), [1]) #matriz de habitat (1=sitio disponible, 0=destruido) x1 = np.full((Lx, Ly), [0]) #1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio x2 = np.full((Lx, Ly), [0]) #1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio y = np.full((Lx, Ly), [0]) #1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio #Colonização inicial for i in range(1,Lx-1): for j in range (1,Ly-1): if (np.random.rand() < D): s[i,j]=0 if (np.random.rand() < x10/(1-D) and s[i,j]==1): x1[i,j]=1 if (np.random.rand() < x20/(1-D) and s[i,j]==1): x2[i,j]=1 if (np.random.rand() < y0/(1-D) and s[i,j]==1): y[i,j]=1 for i in range(Lx): #destruimos los bordes del habitat s[i,0]=0 s[i,Ly-1]=0 for j in range(Ly): s[0,j]=0 s[Lx-1,j]=0 #Lazo temporal fx1=sum(sum(x1))/((Lx)*(Ly)) fx2=sum(sum(x2))/((Lx)*(Ly)) fy =sum(sum(y)) /((Lx)*(Ly)) f = open("redemedia2015.dat", "w") f.write(" "+str(0)+" "+str(fx1)+" "+str(fx2)+" "+str(fy)+"\n") for it in range(maxt): if (float(it)%(float(maxt)/100)==0.): print("Porcentagem: "+str(it*100/maxt)) # Exibe o passo atual x1old=copy.copy(x1) #poblaciones del paso anterior x2old=copy.copy(x2) yold=copy.copy(y) for i in range (1,Lx-1): for j in range (1,Ly-1): # COLONIZAÇÃO+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ if (s[i,j]==0): for c in range(1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if (s[m,n]==1 and x1old[m,n]==0): if (np.random.rand()<= cx1): x1[m,n]=1 # Ovelha if (x2old[i,j]==1): for c in range(1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if (s[m,n]==1 and (x1old[m,n]==0 and x2old[m,n]==0)): if (np.random.rand()<= cx2): x2[m,n]=1 # Puma if (yold[i,j]==1): for c in range(1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if (x1old[m,n]==1 or x2old[m,n]==1): if (np.random.rand()<= cy): y[m,n]=1 #EXTINÇÃO LOCAL++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ #Guanaco if (x1old[i,j]==1): if (np.random.rand()<= ex1): x1[i,j]=0 #Ovelha if (x2old[i,j]==1): if (np.random.rand()<= ex2): x2[i,j]=0 #Puma if (yold[i,j]==1): if (np.random.rand()<= ey): y[i,j]=0 #PREDAÇÃO++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ if (x1old[i,j]==1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if (yold[m,n]==1): if (np.random.rand()<= mx1y): x1[i,j]=0 if(x2old[i,j]==1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if (yold[m,n]==1): if (np.random.rand()<= mx2y): x2[i,j]=0 #DESLOCAMENTO+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ if (x2old[i,j]==1): m=random.randint(1,Lx-1) n=random.randint(1,Ly-1) if ( x1old[m,n]==1): if (np.random.rand()<= cx1): x2[i,j]=0 if(con==1): fx1=sum(sum(x1))/((Lx)*(Ly)) fx2=sum(sum(x2))/((Lx)*(Ly)) fy =sum(sum(y)) /((Lx)*(Ly)) f.write(" "+str(it+1)+" "+str(fx1)+" "+str(fx2)+" "+str(fy)+"\n") con=0 con=con+1 # CÁLCULOS FINAIS ----------------------------------------------------- f.close()
E para a segunda rede, tivemos as duas tentativas foram:
# -*- coding: UTF-8 -*- # "Rede média" para o modelo de 2 herbívoros com dinâmica dos fragmentos # Jhordan Silveira de Borba # sbjhordan@gmail.com #Bibliotecas import numpy as np # Biblioteca de funções matemáticas import copy # Biblioteca com funções para copiar import random # Biblioteca para gerar números aleatórios #CONDIÇÕES INICIAIS ------------------------------------------------------ maxt = 500 #tiempo total de cada realizacion Lx = 100 #tamaño del sustrato en la coordenada x Ly = 100 #Fracciones iniciales x10 = 0.3 #fraccion inicial de sitios ocupados por x1 x20 = 0.3 #fraccion inicial de sitios ocupados por x2 h0 = 1. #fraccion inicial de sitios disponibles #Tasas cx1 = 0.04 #colonizaciones cx2 = 0.7 ex1 = 0.01 #extinciones ex2 = 0.01 to = 100 #Tempo de ocupação tr = 20 #Tempo de recuperação g = 0.1 #Taxa de variação dos fragmentos t = tr+to con1=1 #Controle do registro #Inicializaciones sh =[] # Histórico da matriz de habitat x2h=[] # Histórico da matriz de ovelhas s = np.full((Lx, Ly), [1]) # matriz de habitat (1=sitio disponible, 0=destruido) x1 = np.full((Lx, Ly), [0]) # 1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio x2 = np.full((Lx, Ly), [0]) # 1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio sh.append(s) x2h.append(x2) for i in range(Lx): # Distribuição inicial for j in range (Ly): if (np.random.rand() < (1-h0) ): s[i,j]=0 if (np.random.rand() < x10/h0 and s[i,j]==1): x1[i,j]=1 if (np.random.rand() < x20/h0 and s[i,j]==1): x2[i,j]=1 #Lazo temporal fx1=sum(sum(x1))/((Lx)*(Ly)) fx2=sum(sum(x2))/((Lx)*(Ly)) fs =sum(sum(s)) /((Lx)*(Ly)) f = open("temporal2019.dat", "w") f.write(" "+str(0)+" "+str(fx1)+" "+str(fx2)+" "+str(fs)+"\n") for it in range(maxt): if (float(it)%(float(maxt)/100)==0.): print("Porcentagem: "+str(it*100/maxt)) # Exibe o passo atual #ESPALHAMENTO nx1=sum(sum(x1)) nx2=sum(sum(x2)) ns =sum(sum( s)) s = np.full((Lx, Ly), [0]) # matriz de habitat (1=sitio disponible, 0=destruido) x1 = np.full((Lx, Ly), [0]) # 1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio x2 = np.full((Lx, Ly), [0]) # 1 = sitio ocupado, 0 sitio vazio for i in range (max(nx1,nx2,ns)): #Quantidade máxima de animais que vamos espalhar if(i<ns): #Esoalhando os fragmentos (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) while(True): if(s[a,b]==0): #Se escolhemos um fragmento destruído s[a,b]=1 #Revitalizamos break #E saímos do loop else: #Se não repetimos (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) if(i<nx1): #Competidor superior (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) while(True): if(x1[a,b]==0): x1[a,b]=1 break else: (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) if(i<nx2): #Competidor inferior (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) while(True): if(x2[a,b]==0): x2[a,b]=1 break else: (a,b)=(random.randint(0,Lx-1),random.randint(0,Ly-1)) sold =copy.copy(s ) x1old=copy.copy(x1) #poblaciones del paso anterior x2old=copy.copy(x2) for i in range (0,Lx-1): for j in range (0,Ly-1): #COLONIZAÇÃO+++++++++++++++++++++++++++++++++++ #Guanaco if (x1old[i,j]==1): for a in range(1): m=random.randint(0,Lx-1) n=random.randint(0,Ly-1) if (sold[m,n]==1 and x1old[m,n]==0): if (np.random.rand()<= cx1): x1[m,n]=1 #Ovelha if (x2old[i,j]==1): for a in range(1): m=random.randint(0,Lx-1) n=random.randint(0,Ly-1) if (sold[m,n]==1 and (x1old[m,n]==0 and x2old[m,n]==0)): if (np.random.rand()<= cx2): x2[m,n]=1 #EXTINÇÃO #Guanaco if (x1old[i,j]==1): if (np.random.rand()<= ex1): x1[i,j]=0 #Ovelha if (x2old[i,j]==1): if (np.random.rand()<= ex2): x2[i,j]=0 #DESLOCAMENTO+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ if (x2old[i,j]==1): m=random.randint(0,Lx-1) n=random.randint(0,Ly-1) if ( x1old[m,n]==1): if (np.random.rand()<= cx1): x2[i,j]=0 #Dinâmica dos patches+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ if(it+2>to): #Se passou o primeiro período de ocupação if (x2h[to-1][i,j]==1): #Então há destruição de fragmentos m=random.randint(0,Lx-1) n=random.randint(0,Ly-1) if (sh[to-1][m,n]==1): if(np.random.rand()<=g): li=np.where(s==1) #Elementos que são 1 if(len(li[0])==1): k=0 elif(len(li[0])>1): k=random.randint(0,len(li[0])-1) #Sorteio do elemento s[li[0][k],li[1][k]]=0 if(it+2>t): #Se passou do período de oucpação e recuperação if (x2h[t-1][i,j]==1): #Há recuperação do habitat m=random.randint(0,Lx-1) n=random.randint(0,Ly-1) if (sh[t-1][m,n]==1): if(np.random.rand()<=g): li=np.where(s==0) if (len(li[0])==1): k=0 elif(len(li[0])>1): k=random.randint(0,len(li[0])-1) s[li[0][k],li[1][k]]=1 sh.insert(0,copy.copy(s)) #Adiciona o estado atual no histórico x2h.insert(0,copy.copy(x2)) if (it>=t): #Exclui estados que não serão mais utilizados sh.pop() x2h.pop() if (con1==1): fx1=sum(sum(x1))/((Lx)*(Ly)) fx2=sum(sum(x2))/((Lx)*(Ly)) fs =sum(sum(s ))/((Lx)*(Ly)) f.write(" "+str(it+1)+" "+str(fx1)+" "+str(fx2)+" "+str(fs)+"\n") con1=0 con1=con1+1 f.close()
Principais materiais utilizados
- Minicurso de Redes complexas (Silvio Ferreira, ENMM-Covid19)
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