Medidas estáticas: mudanças entre as edições
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Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em <math>N^2</math> guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula teste: | Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em <math>N^2</math> guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula-teste. (Neste algoritmo chama-se a partícula-teste de "xOrg" (x original) e o possível vizinho de "x2") : | ||
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for(i=0;i<NP;i++){ | for(i=0;i<NP;i++){ | ||
xOrg=xx[i]; | |||
yOrg=yy[i]; | |||
for(j=0;j<6;j++){ | |||
dNeighbors[j]=999.; | |||
} | |||
for(j=0;j<NP;j++){ | |||
x2=xx[j]; | |||
y2=yy[j]; | |||
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O próximo passo é de fato calcular a distância entre as partículas e testar se essa distância é menor que a maior distância presente no vetor dNeighbors. Isto é, o vetor dNeighbors começará com valores altos (999) e irá guardar partículas que tenham alguma distância menor que um valor presente em dNeighbors. | |||
Também é importante ressaltar que esse algoritmo tomaria uma grande parte de tempo para sistemas com alto número de partículas, desta forma é bom setar um raio de corte para o cálculo da distância, isto é, os cálculos de se uma partícula é ou não vizinho somente serão calculados caso o possível vizinho esteja suficientemente perto da partícula-teste, suficientemente perto neste algoritmo é determinado utilizando a medida de g(r) (Explicada acima), pega-se um valor um pouco maior que o primeiro pico da g(r) e define-se como o "radiusLimit" (Raio limite) do codigo: | |||
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if(i!=j){ | |||
//Calcula distância entre partícula-teste e possível vizinho | |||
deltaX=fabs(x2-xOrg); | |||
deltaY=fabs(y2-yOrg); | |||
deltaX=deltaX-rint(deltaX/Lx)*Lx; | |||
deltaY=deltaY-rint(deltaY/Ly)*Ly; | |||
dNew=sqrt((deltaX*deltaX)+(deltaY*deltaY)); | |||
// --- // | |||
if( | if(dNew<radiusLimit) // Testa se a distância é menor que o raio limite | ||
{ | { | ||
//Procura-se o maior valor presente em dNeighbors e salva-se com o nome de "dOld", bem como seu indíce como "index" | |||
dOld=0; | dOld=0; | ||
for(k=0;k<6;k++){ | for(k=0;k<6;k++){ | ||
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index=k; | index=k; | ||
} | } | ||
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// Testa-se se a distância do possível vizinho é menor que a maior distância presente já em dNeighbors | |||
if(dNew<dOld){ | if(dNew<dOld){ | ||
neighborsX[index]=x2; | |||
neighborsY[index]=y2; | |||
dNeighbors[index]=dNew; | |||
} | } | ||
} | } | ||
} | |||
} | |||
</pre> | |||
Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das 6 partículas mais próximas, é importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de <math> \psi_6 </math> | |||
=== Calculando o Psi 6 === | |||
Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do <math> \psi_6 </math>. Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de <math> \phi </math> e será dado pela seguinte relação: | |||
<center><math> | |||
\phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right) | |||
</math></center> | |||
Na implementação em código fica: | |||
<pre> | |||
for(j=0;j<6;j++){ // Calculating angles | |||
delX=neighborsX[j]-xx[i]; | |||
delY=neighborsY[j]-yy[i]; | |||
//Condições de contorno periódicas | |||
delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx; | |||
delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly; | |||
// --- // | |||
angle[j]=atan2(delY,delX); | |||
if (angle[j]<0) | |||
angle[j]=2*PI+angle[j]; | |||
psix[i]=0; | |||
</pre> | |||
Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, desta forma é possível calcular os <math> \theta_i </math> | |||
=Pair Distribution Function= | =Pair Distribution Function= | ||
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Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região. | Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre <math>r</math> e <math>r+\Delta r</math> pesado pelo volume/área desta região. | ||
<math> | |||
g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right] | g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right] | ||
</math></center> | </math></center> |
Edição das 17h41min de 18 de junho de 2016
Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas que
Psi 6
Teoria
No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o padrão hexagonal. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.
O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.
Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de . Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de , é possível definir que o vale:
Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e resulte em um valor de .
Implementação Computacional
Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de
Encontrando vizinhos
Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a fig.
O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete. Se o leitor tiver interesse, entretanto, são recomendados as seguintes referências:
O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em , porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as 6 partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de ), desta forma o valor de resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os 6 vizinhos são de fato os primeiros vizinhos e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.
Define-se dois vetores chamados neighborsX,neighborsY e dNeighbors, que guardarão as posições X,Y e a distância do i-ésimo vizinho. Então os valores iniciais destes vetores recebem valores altos em relação as medidas da caixa (neste exemplo utilizou-se 20 para os dois lados), da seguinte forma:
int i; double neighborsX[6],neighborsY[6]; for(i=0;i<6;i++){ neighborsX[i]=999; neighborsY[i]=999; dNeighbors[i]=999; }
Após, realizar-se-á a busca pelas 6 partículas mais próximas da partícula-teste, como queremos calcular para todas as partículas (NP) presentes na simulação, faremos um "for" em guardando as posições das duas partículas, é importante resetar os valores de dNeighbors toda vez que começa-se para outra partícula-teste. (Neste algoritmo chama-se a partícula-teste de "xOrg" (x original) e o possível vizinho de "x2") :
for(i=0;i<NP;i++){ xOrg=xx[i]; yOrg=yy[i]; for(j=0;j<6;j++){ dNeighbors[j]=999.; } for(j=0;j<NP;j++){ x2=xx[j]; y2=yy[j];
O próximo passo é de fato calcular a distância entre as partículas e testar se essa distância é menor que a maior distância presente no vetor dNeighbors. Isto é, o vetor dNeighbors começará com valores altos (999) e irá guardar partículas que tenham alguma distância menor que um valor presente em dNeighbors.
Também é importante ressaltar que esse algoritmo tomaria uma grande parte de tempo para sistemas com alto número de partículas, desta forma é bom setar um raio de corte para o cálculo da distância, isto é, os cálculos de se uma partícula é ou não vizinho somente serão calculados caso o possível vizinho esteja suficientemente perto da partícula-teste, suficientemente perto neste algoritmo é determinado utilizando a medida de g(r) (Explicada acima), pega-se um valor um pouco maior que o primeiro pico da g(r) e define-se como o "radiusLimit" (Raio limite) do codigo:
if(i!=j){ //Calcula distância entre partícula-teste e possível vizinho deltaX=fabs(x2-xOrg); deltaY=fabs(y2-yOrg); deltaX=deltaX-rint(deltaX/Lx)*Lx; deltaY=deltaY-rint(deltaY/Ly)*Ly; dNew=sqrt((deltaX*deltaX)+(deltaY*deltaY)); // --- // if(dNew<radiusLimit) // Testa se a distância é menor que o raio limite { //Procura-se o maior valor presente em dNeighbors e salva-se com o nome de "dOld", bem como seu indíce como "index" dOld=0; for(k=0;k<6;k++){ if(dNeighbors[k]>dOld){ dOld=dNeighbors[k]; index=k; } } // --- // // Testa-se se a distância do possível vizinho é menor que a maior distância presente já em dNeighbors if(dNew<dOld){ neighborsX[index]=x2; neighborsY[index]=y2; dNeighbors[index]=dNew; } } } }
Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das 6 partículas mais próximas, é importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de
Calculando o Psi 6
Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do . Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de e será dado pela seguinte relação:
Na implementação em código fica:
for(j=0;j<6;j++){ // Calculating angles delX=neighborsX[j]-xx[i]; delY=neighborsY[j]-yy[i]; //Condições de contorno periódicas delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx; delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly; // --- // angle[j]=atan2(delY,delX); if (angle[j]<0) angle[j]=2*PI+angle[j]; psix[i]=0;
Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, desta forma é possível calcular os
Pair Distribution Function
A Pair Distribution Function , ou "", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância dentro de um sistema de várias partículas.
Em um sistema de partículas, o é definido como a média do número de partículas a uma distância :
Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre e pesado pelo volume/área desta região.
Onde é o/a volume/área total e é a função retangular.
Em resumo, o é a média dos histogramas do número de partículas em um bin de largura a uma feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste bin.
Construção do Código
Resultados
Referências
- Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press.