Histogramas e Densidade de Probabilidade

Geradores aleatórios tem amplo uso em simulações físicas, em particular nas simulações da área de Mecânica Estatística onde são usados para imitar o efeito da temperatura. Como mencionado nas seções anteriores, as linguagens de programação usualmente apresentam um gerador de números aleatórios (congruente) intrínseco, supostamente uniforme, ou seja, um gerador que produz com igual probabilidade os números aleatórios dentro do intervalo de definição do gerador. (De fato, há uma segunda condição importante para um bom gerador que é mais difícil de ser obtida em geradores congruentes: a descorrelação, mas não vamos tratar dela agora.)

A primeira condição pode ser testada na prática fazendo-se um histograma dos números aleatórios gerados. Este é o objetivo inicial desta seção.

  1) Faça um programa que gere $N$ números aleatórios inteiros
     no intervalo $0<x<L$. Divida esse intervalo em $M$ partes
     e conte o número de números aleatórios, $h(i)$, gerados em cada divisão,$i$ 
     deste intervalo. Use, por exemplo, $L=100$ e teste diferentes valores
      de $N=100,1000,10000$. Faça um gráfico (histograma) de $h(i)\times i$.

  2) Calcule o valor médio  e o desvio quadrático médio de $h$ para os três casos
     anteriores. Faça um gráfico do desvio quadrático médio como função de $L$. Note
     que se  pode calcular esses valores de duas formas equivalentes (prove!):
     $\sigma ^{2}={\frac {1}{M}}\sum _{i}(h_{i}-{\bar {h}})^{2}=({\frac {1}{M}}\sum _{i}h_{i}^{2})-{\bar {h}}^{2}$
  

Densidade de Probabilidade

Os resultados do item 1 do exercício acima sugerem a forma de calcular a probabilidade $P(x)$ de que um número aleatório $x$ seja gerado dentro do intervalo $0\leq x\leq i$:

  $P(x_{i})={\frac {1}{N}}{\sum _{j=1}^{j<i+1}h(x_{j})}$.

Pode-se generalizar o cálculo de P(x) para um intervalo $\Delta x$ qualquer usando o conceito de densidade de probabilidade:

 $P(x)=\int _{0}^{x}\rho (x)dx$

assim, $\rho (x)$, é a densidade de probabilidade e $\rho (x)dx$ é a probabilidade que $x$ seja sorteado no intervalo $[x,x+dx]$.

A probabilidade de que um número aleatório seja sorteado dentro do intervalo de definição do gerador deve ser unitária, portanto,

 $P(L)=\int _{0}^{L}\rho (x)dx=1$.

que é o que se chama de normalização. Um gerador uniforme deve apresentar os números aleatórios com igual probabilidade em qualquer região de seu intervalo de definição, ou seja, a densidade de probabilidade deve ser constante.

 $\rho (x)=A\;\;\;\;\;\;\{0<x<L\}$

Podemos encontrar $A$ normalizando-se a expressão acima:

 $\int _{0}^{L}\rho (x)dx=\int _{0}^{L}Adx=1\;\;\;\;\ \Rightarrow A={\frac {1}{L}}$.

Valores Médios de Distribuições Aleatórias

O cálculo dos valores médios de variáveis aleatórias ou potências dessas variáveis é, por definição,

  ${\bar {x^{k}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{i=N}x^{k}$,

mas, lembrando o histograma que fizemos no início desta seção, podemos equivalentemente usar a contagem de números que caem em cada intervalo multiplicada por $x^{k}$ e somar sobre os $M$ valores em que partimos o intervalo $L$.

  ${\bar {x^{k}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{M}h(i)x(i)^{k}$,

lembre que ${\frac {h(i)}{N}}$ é a probabilidade que um número aleatório caia no intervalo entre i e i+1. Podemos estender esse cálculo para limite em que o intervalo passa a ser infinitesimal $dx$. A probabilidade de que um número aleatório aí caia é dada por $\rho (x)dx$ e a soma passa a uma integral,

 ${\bar {x^{k}}}=\int _{0}^{L}\rho (x)x^{k}dx$.

O valores médios, ${\bar {x^{k}}}$, são chamados de momentos da distribuição e o conjunto desse valores (para $1<k<\infty$) define-a univocamente.

Exercícios

1- Mostre que o k-ésimo momento de uma distribuição uniforme definida em um intervalo L é dada por

  ${\bar {x^{k}}}={\frac {L^{k}}{k+1}}$.

2- Faça um programa que calcule numericamente o resultado obtido no ítem anterior.