Estabilidade
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Antes de tudo, é interessante citar algumas ferramentas normalmente usadas para investigar a estabilidade de sistemas com atraso temporais : teoria de Razumikhin, aproximação com a função de Lambert, Teoria de Lyapunov-Krasovskii e considerações de autovalores para sistemas lineares.
Começando então com algumas definições de estabilidade, considerando o seguinte problema:
Então algumas definições:
- Definição: Uma função constante
é chamada de estado de equilíbrio se 
para todo 
. Ainda que tenha mais de um estado de equilíbrio, a análise de qualquer ponto pode ser reduzida a uma analise do equilíbrio zero.
- Definição:O estado de equilíbrio
é estável no sentido de Lyapunov se para quaisquer números positivos 
e 
existe um 
em que cada solução contínua do sistema que satisfaça:
Também satisfaça:
- Definição: O estado de equilíbrio é assintoticamente estável se toda solução contínua também satisfaz
.
Nas definições acima o número 
depende de e . Se 
pode ser encontrado independente de a solução é chamada de uniformemente e assintoticamente estável.
Autovalores
O método explorado aqui será utilizando considerações de autovalores. Um caso especial de equação diferencial com atraso é dado por:
Onde os elementos da matriz 
são contínuos e finitos. Então a equação característica é dada por:
Sendo 
a parte real de 
, o sistema é assintoticamente e uniformemente estável se:
Para todo 
que satisfaça 
.
Principais materiais utilizados:
- Stability and stabilization of time-delay systems (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)
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