Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$$f'\left(t\right)\approx {\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}$$

Então se ${\textstyle y\left(t\right)=f'\left(t\right)}$ a segunda derivada é ${\textstyle y'\left(t\right)=f''\left(t\right)}$, pela definição, da derivada a direita:

$$y'\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Logo utilizando as aproximações:

$${\begin{aligned}f''\left(t\right)&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left({\frac {f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}\right)\\&\approx {\frac {f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

Isolando então ${\textstyle f\left(t+\Delta t\right)}$:

$${\begin{aligned}f\left(t+\Delta t\right)&=\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{aligned}}$$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer ${\textstyle f\left(t\right)}$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se ${\textstyle f\left(t\right)=x\left(t\right)}$ é posição, então ${\textstyle f''\left(t\right)={\ddot {x}}\left(t\right)=a\left(x,t\right)}$ logo podemos reescrever:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{aligned}}$$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada:

$$v\left(t\right)={\dot {x}}\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}$$

Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+{\frac {1}{2}}a\left(t\right)\Delta t^{2}+{\frac {1}{6}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots \\x\left(t-\Delta t\right)&=x\left(t\right)-v\left(t\right)\Delta t+{\frac {1}{2}}a\left(t\right)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots \end{aligned}}$$

Somando os dois termos, ficamos então com:

$$x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2x\left(t\right)+a\left(t\right)\Delta t^{2}+{\mathcal {O}}\left(\Delta t^{4}\right)$$

Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é ${\textstyle {\mathcal {O}}\left(\Delta t^{4}\right)}$, e este é o erro local, associao a um único passo.

Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:

$$x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2v\left(t\right)+{\frac {1}{3}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}$$

Então:

$$v\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {1}{3}}a'\left(t\right)\Delta t^{2}$$

Logo temos um erro ${\textstyle {\mathcal {O}}\left(\Delta t^{2}\right)}$ na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de ${\textstyle \Delta t}$, também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número ${\textstyle \epsilon }$ em que para qualquer número ${\textstyle \alpha \leq \epsilon }$ então ${\textstyle 1+\alpha =1}$. ${\textstyle \epsilon }$ é o maior número que pode ser somado a ${\textstyle 1}$ sem alterar o resultado.

Principais materiais utilizados

1. The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)