Método de Verlet

Método de Verlet

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$$f'\left(t\right)\approx {\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}$$

Então se ${\textstyle y\left(t\right)=f'\left(t\right)}$ a segunda derivada é ${\textstyle y'\left(t\right)=f''\left(t\right)}$, pela definição, da derivada a direita:

$$y'\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Logo utilizando as aproximações:

$${\begin{aligned}f''\left(t\right)&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\Delta t}}\left({\frac {f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}\right)\\&\approx {\frac {f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

Isolando então ${\textstyle f\left(t+\Delta t\right)}$:

$${\begin{aligned}f\left(t+\Delta t\right)&=\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{aligned}}$$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer ${\textstyle f\left(t\right)}$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se ${\textstyle f\left(t\right)=x\left(t\right)}$ é posição, então ${\textstyle f''\left(t\right)={\ddot {x}}\left(t\right)=a\left(x,t\right)}$ logo podemos reescrever:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{aligned}}$$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada:

$$v\left(t\right)={\dot {x}}\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}$$

Alternativamente podemos obter o mesmo resultado em termos da expansão de Taylor:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+{\frac {1}{2}}a\left(t\right)\Delta t^{2}+{\frac {1}{6}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots \\x\left(t-\Delta t\right)&=x\left(t\right)-v\left(t\right)\Delta t+{\frac {1}{2}}a\left(t\right)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}+\dots \end{aligned}}$$

Somando os dois termos, ficamos então com:

$$x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2x\left(t\right)+a\left(t\right)\Delta t^{2}+{\mathcal {O}}\left(\Delta t^{4}\right)$$

Obtemos então não só o algoritmo de Verlet, além de que sabemos que é uma expansão até a terceir ordem. Então o erro envolvido na truncação é ${\textstyle {\mathcal {O}}\left(\Delta t^{4}\right)}$, e este é o erro local, associao a um único passo.

Além disso, se fizermos a diferença, obtemos o algoritmo da velocidade:

$$x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)=2v\left(t\right)+{\frac {1}{3}}a'\left(t\right)\Delta t^{3}$$

Então:

$$v\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)+x\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}}-{\frac {1}{3}}a'\left(t\right)\Delta t^{2}$$

Logo temos um erro ${\textstyle {\mathcal {O}}\left(\Delta t^{2}\right)}$ na velocidade. Além do erro de truncação associado ao método de dierenças finita e que decai com o decaimento de ${\textstyle \Delta t}$, também podemos lembrar que um erro de arredondamento, pois o computador usa uma quantidade finita de memória para representar os números. Isto, é, existe um número ${\textstyle \epsilon }$ em que para qualquer número ${\textstyle \alpha \leq \epsilon }$ então ${\textstyle 1+\alpha =1}$. ${\textstyle \epsilon }$ é o maior número que pode ser somado a ${\textstyle 1}$ sem alterar o resultado.

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer:

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$$

Podemos ressaltar ainda que $a=-\omega ^{2}x$ e ${\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler-Cormer para obter o primeiro passo:
x.append(x[0]+dt*v[0])  
t.append(dt)

#Método de Verlet:
for it in range(1,Np):
  x.append(-w2*x[it]*dt*dt-x[it-1]+2*x[it]) #Método de Verlet
  v.append((x[it+1]-x[it-1])/(2*dt))
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t[:len(t)-1],v) #Velocidade tem um elemento a menos
#plt.plot(t[:len(t)-1],E)
plt.plot(x[:len(x)-1],v)

Método Velocidade de Verlet

O método de verlet é similar ao leapfrog, mas é síncrono e não exige inicialização. Pela derivada à direita com uma variação de ${\textstyle \Delta t/2}$, obtemos uma equação para velocidade:

$$a\left(t\right)\approx {\frac {v\left(t+\Delta t/2\right)-v\left(t\right)}{\Delta t/2}}\longrightarrow v\left(t+\Delta t/2\right)=v\left(t\right)+a\left(t\right){\frac {\Delta t}{2}}\qquad \left(1\right)$$

Fazendo o mesmo processo do leapfrog para a posição:

$$v\left(t+\Delta t/2\right)\approx {\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}}\longrightarrow x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t$$

Ainda podemos reescrever, substituindo:

$$x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+a\left(t\right){\frac {\Delta t^{2}}{2}}\qquad \left(2\right)$$

Isto é, partindo de um tempo ${\textstyle t}$ onde conhecemos posição e velocidade, calculamos a velocidade em ${\textstyle t+{\frac {\Delta t}{2}}}$ e usamos essa velociade para calcular a poição em ${\textstyle t+\Delta t}$. Agora para a velocidade no instante ${\textstyle t+\Delta t}$ , começamo com uma derivada centrada:

$$v\left(t\right)={\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}\longrightarrow v\left(t+\Delta t\right)={\frac {x\left(t+2\Delta t\right)-x\left(t\right)}{2\Delta t}}\qquad \left(3\right)$$

Então pegamos o método de Verlet e avançamos ${\textstyle \Delta t}$:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=a\left(t\right)\Delta t^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\\x\left(t+2\Delta t\right)&=a\left(t+\Delta t\right)\Delta t^{2}-x\left(t\right)+2x\left(t+\Delta t\right)\end{aligned}}$$

E substituímos na velocidade (equação 3):

$${\begin{aligned}v\left(t+\Delta t\right)&={\frac {a\left(t+\Delta t\right)\Delta t^{2}-x\left(t\right)+2x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{2\Delta t}}\\=&a\left(t+\Delta t\right){\frac {\Delta t}{2}}-+{\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}}\end{aligned}}$$

E usando então a equação para posição que encontramos (equação 2) para substituir ${\textstyle x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}$ :

$${\begin{aligned}v\left(t+\Delta t\right)&=a\left(t+\Delta t\right){\frac {\Delta t}{2}}+{\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}}\\=&v\left(t\right)+\left(a\left(t+\Delta t\right)+a\left(t\right)\right){\frac {\Delta t}{2}}\end{aligned}}$$

Então agora utilizamos a posição em ${\textstyle t+\Delta t}$ para encontrarmos a velocidade no mesmo instante. Temos então:

$${\begin{aligned}x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t+a\left(t\right){\frac {\Delta t^{2}}{2}}\\v\left(t+\Delta t\right)&=v\left(t\right)+\left(a\left(t+\Delta t\right)+a\left(t\right)\right){\frac {\Delta t}{2}}\end{aligned}}$$

Ou ainda simplesmente escrevendo explicitamente a equação 1:

$${\begin{aligned}v\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)&=v\left(t\right)+a\left(t\right){\frac {\Delta t}{2}}\\x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)\Delta t\\v\left(t+\Delta t\right)&=v\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+a\left(t+\Delta t\right){\frac {\Delta t}{2}}\end{aligned}}$$

Exemplo

Resolvendo o mesmo exemplo anterior, temos:

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0] ; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Velocidade Verlet:
for it in range(Np):
  x.append(x[it]+v[it]*dt-w2*x[it]*dt**2/2)
  v.append(v[it]+(-w2*x[it+1]-w2*x[it])*dt/2)
  E.append(k*x[it]**2/2+m*v[it]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Principais materiais utilizados

1. The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)
2. Verlet Method (Brasnislav K. Nikolic, Universidae de Delaware)