Medidas estáticas

Em dinâmica molecular, medidas estáticas são medidas realizadas em um passo específico de tempo da simulação.

Pair Distribution Function

Representação do cálculo numérico de $g(r)$;

A Pair Distribution Function , ou "$g(r)$", é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância $r$ dentro de um sistema de várias partículas.

Em um sistema de $N$ partículas, o $g(r)$ é definido como a média do número de partículas a uma distância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|) \rangle }

Numéricamente pode ser interpretado como a média do número de pares de partículas a uma distância entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r+\Delta r} pesado pelo volume/área desta região.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(r,\Delta r)=\frac{V_t}{N^2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\left[\frac{rect\left(\frac{r-|r_i-r_j|}{\Delta r}\right)}{V\left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)-V\left(r-\frac{\Delta r}{2}\right)}\right] }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_t} é o/a volume/área total e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rect} é a função retangular.

Em resumo, o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(r,\Delta r)} é a média dos histogramas do número de partículas em um bin de largura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta r} a uma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} feitos para cada partícula no sistema pesado pelo volume/área deste bin.

Resultados

Referências

• Frenkel, Daan and Smit, Berend (2001). Understanding Molecular Simulation. Academic Press.

Psi 6

No estudo do agrupamento de pontos equidistantes em um espaço 2D, é possível provar matematicamente que o formato formado pelos pontos que maximiza a utilização do espaço é o padrão hexagonal. Para dinâmicas moleculares com potenciais de Lennard-Jones com densidade suficientemente alta (rho ~) é possível observar que o padrão formado após o relaxamento (tempo suficiente para a rede se estabilizar) é de fato o padrão hexagonal.

O psi 6 é uma análise de o quão hexagonal um padrão de posições está em um certo tempo da simulação. É possível associar a cada partícula um valor que varia entre -1 e 1 da hexagonalidade do padrão de posições formado por ele e seus primeiros vizinhos (conjunto de partículas mais próximas). Com essa medida é possível quantificar diferentes regiões da "caixa" em que as partículas estão localizadas e então localizar possíveis "defeitos" no padrão hexagonal.

Para um padrão hexagonal perfeito, cada partícula apresenta 6 primeiros vizinhos, cada qual posicionado simetricamente em torno dessa. Analisando a simetria, cada vizinho consecutivo deve apresentar um ângulo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{3}} . Buscando uma relação em que esta situação seja a situação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 = 1} , é possível definir que o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } vale:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6=\frac{1}{6}\sum_i^ncos(6\theta_i) }

Onde i é o índice do i-ésimo vizinho e n é o número de primeiros vizinhos. Esta relação deixa específico que o caso de 6 primeiros vizinhos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}} resulte em um valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6=1} .

Implementação Computacional

Definição de vizinhança:O primeiro círculo pontilhado delimita os primeiros vizinhos, o segundo círculo pontilhado delimita os segundos vizinhos;

Pode-se separar a implementação computacional em dois procedimentos necesssários: Encontrar os primeiros vizinhos para cada partícula e então calcular, de fato, o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6} .

Encontrando vizinhos

Por definição, os primeiros vizinhos de uma partícula são aquelas partículas que estão presentes em um anel mais próximo dela, como mostra a figura ao lado.

O problema de encontrar primeiros vizinhos é um problema bastante discutido em teoria da computação e diversos métodos foram desenvolvidos para efetuar esta tarefa. Desta forma a maioria dos métodos otimizados são de difícil implementação e então não serão tratados nesse verbete.

O método aqui citado é pouco otimizado, pois utiliza-se um for em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^2} , porém de implementação razoavelmente simples. O método consiste em encontrar as partículas mais próximas da partícula-teste (partícula em que busca-se calcular o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6} ) baseando-se em outro valor já calculado, a medida do g(r), desta forma o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6} resultará em um valor razoável ( >0.8 ) se os vizinhos dentro do raio medido no g(r) são de fato 6 e estão localizados em um padrão quase-hexagonal em torno da partícula-teste.

Para encontrar os primeiros vizinhos baseando-se no g(r), precisa-se observar qual a medida do primeiro pico no gráfico do g(r) e então definir este como uma distância de corte para a partícular ser ou não vizinha (isto é, um circulo com o raio da distância de corte ao redor da partícula-teste de forma que outras partículas dentro deste círculo são suas vizinhas). Neste caso, definem-se três vetores: "neighborsX" (que guarda a posição X do vizinho), "neighborsY"(que guarda a posição Y do vizinho) e "dNeighbors"(que guarda a distância do vizinho) e então faz-se o for em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^2} buscando-se as distância menores que o raio de corte:

	for(i=0;i<NP;i++){
		xOrg=xx[i];
		yOrg=yy[i];
		for(j=0;j<NP;j++){
			x2=xx[j];
			y2=yy[j];
			if(i!=j){
				if(distance(xOrg,yOrg,x2,y2)<radiusLimit)
				{	
					neighborsX[k]=x2;
					neighborsY[k]=y2;
					dNeighbors[k]=distance(x2,y2,xOrg,yOrg);
					k+=1;
				}
			}		
        }

Portanto após esse algoritmo, temos guardadas as posições das partículas mais próximas. É importante ressaltar que o "for" em partícula-teste ainda não foi fechado, e ainda dentro deste mesmo loop serão calculados os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } .

Calculando o Psi 6

Tendo os valores de X e Y dos vizinhos da partícula-teste, podemos proceder para o cálculo do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } . Para este cálculo, precisamos dos ângulos que cada vizinho tem em relação a partícula-teste, isto é, setamos um referencial X-Y com a origem na partícula-teste e calculamos o ângulo que cada vizinho tem com o eixo X, este ângulo será chamado de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi } e será dado pela seguinte relação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_i=arctg\left(\frac{\Delta Y}{\Delta X}\right) }

Na implementação em código fica:

	for(j=0;j<k;j++){
		delX=neighborsX[j]-xx[i];
		delY=neighborsY[j]-yy[i];

                //Condições de contorno periódicas
		delX=delX-rint(delX/Lx)*Lx; 
        	delY=delY-rint(delY/Ly)*Ly;
                // --- //

		angle[j]=atan2(delY,delX);
		if (angle[j]<0)
			angle[j]=2*PI+angle[j];
                psix[i]=0;
 

Agora somente precisa-se realizar um algoritmo que ordene o vetor "angle" do menor para o maior ângulo, utilizando algoritmos de ordenamento (bubblesort, quicksort, etc) desta forma é possível calcular os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_i } .

Feito o ordenamento do vetor, basta calcular a média do valor do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } de cada vizinho. Para isto, precisamos calcular os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_i } em função dos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi } , basta realizar a subtração do próximo vizinho no vetor pelo valor do ângulo do vizinho atual, dessa forma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_i = \psi_{i+1} - \psi_i } com exceção do último vizinho, que será o ângulo dele menos o do primeiro, desta forma a implementação fica:

		firstAngle=angle[0];	
		for(j=0;j<k-1;j++){ 
			angle[j]=cos(6.*(angle[j+1]-angle[j]));
		}		
		angle[k-1]=cos(6.*(firstAngle+2*PI-angle[k-1]));
		for(j=0;j<k;j++){ 
			psix[i]+=angle[j]/6.;
		}	
	}
}

E então está calculado o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } , para facilitar a implementação é recomendado que este algoritmo seja uma função dentro de seu código e desta forma retorne o vetor "psix".

Exemplos

Para o caso de um potencial de Lennard-Jones, é possível observar resultados de mapas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } , isto é, um mapa que mostra para cada partícula o seu valor da medida, da seguinte forma para cada valor de rho:

Aplicações em outras áreas

Mapa neural de células de grade em que o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } equivale 0,99.

No estudo do processamento da posição de um animal no cérebro de rato, são observados padrões hexagonais produzidos pelas chamadas "Células de grade", neurônios que disparam em certos locais específicos do espaço e tendem a formar padrões de grade (hexagonal). Em posse das posições de disparo desses neurônios é possível utilizar a medida do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_6 } para determinar a "hexagonalidade" dos disparos desses neurônios, podendo-se realizar estudos da influência desse formato na interpretação geoespacial do animal.