Edição das 04h19min de 18 de fevereiro de 2022

Para o método de Euler implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:

$f^{'} (t) \approx \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}$

Então se $y (t) = f^{'} (t)$ a segunda derivada é $y^{'} (t) = f^{″} (t)$ , pela definição, da derivada a direita:

$y^{'} (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)}{Δ t}$

Logo utilizando as aproximações:

$\begin{aligned} f^{″} (t) & \approx \frac{1}{Δ t} (f^{'} (t + Δ t) - f^{'} (t)) \\ \approx \frac{1}{Δ t} (\frac{f (t + Δ t) - f (t + Δ t - Δ t)}{Δ t} - \frac{f (t) - f (t - Δ t)}{Δ t}) \\ \approx \frac{f (t + Δ t) + f (t - Δ t) - 2 f (t)}{{(Δ t)}^{2}} \end{aligned}$

Isolando então $f (t + Δ t)$ :

$\begin{aligned} f (t + Δ t) & = {(Δ t)}^{2} f^{″} (t) - f (t - Δ t) + 2 f (t) \end{aligned}$

Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer $f (t)$ em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se $f (t) = x (t)$ é posição, então $f^{″} (t) = \ddot{x} (t) = a (x, t)$ logo podemos reescrever:

$\begin{aligned} x (t + Δ t) & = a (x, t) {(Δ t)}^{2} - x (t - Δ t) + 2 x (t) \end{aligned}$

Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: $v (t) = \dot{x} (t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t - Δ t)}{2 Δ t}$

Principais materiais utilizados

The Second Derivative (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
+Para o [[método de Euler]] implícito havíamos utilizado a derivada a esquerda:
+<math display="block">f'\left(t\right)\approx\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}</math>
+Então se <math display="inline">y\left(t\right)=f'\left(t\right)</math> a segunda derivada é <math display="inline">y'\left(t\right)=f''\left(t\right)</math>, pela definição, da derivada a direita:
+<math display="block">y'\left(t\right)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)}{\Delta t}</math>
+Logo utilizando as aproximações:
+<math display="block">\begin{align}
+f''\left(t\right) & \approx\frac{1}{\Delta t}\left(f'\left(t+\Delta t\right)-f'\left(t\right)\right)\\
+ & \approx\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t+\Delta t-\Delta t\right)}{\Delta t}-\frac{f\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}\right)\\
+ & \approx\frac{f\left(t+\Delta t\right)+f\left(t-\Delta t\right)-2f\left(t\right)}{\left(\Delta t\right)^{2}}\end{align}</math>
+Isolando então <math display="inline">f\left(t+\Delta t\right)</math>:
+<math display="block">\begin{align}
+f\left(t+\Delta t\right) & =\left(\Delta t\right)^{2}f''\left(t\right)-f\left(t-\Delta t\right)+2f\left(t\right)\end{align}</math>
+Temos o método de Verlet. Podemos notar que precisamos conhecer <math display="inline">f\left(t\right)</math> em dois tempos anteriores. Podemos utilizar outro algoritmo para o primeiro passo. Se <math display="inline">f\left(t\right)=x\left(t\right)</math> é posição, então <math display="inline">f''\left(t\right)=\ddot{x}\left(t\right)=a\left(x,t\right)</math> logo podemos reescrever:
+<math display="block">\begin{align}
+x\left(t+\Delta t\right) & =a\left(x,t\right)\left(\Delta t\right)^{2}-x\left(t-\Delta t\right)+2x\left(t\right)\end{align}</math>
+Para calcular a energia, podemos obter a velocidade então utilizando a derivada centrada: <math display="block">v\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)=\frac{x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}</math>
 = Principais materiais utilizados =
 # [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Active_Calculus_(Boelkins_et_al)/01%3A_Understanding_the_Derivative/1.06%3A_The_Second_Derivative The Second Derivative] (Matthew Boelkins, David Austin & Steven Schlicker; LibreTexts)

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