Spline cúbico

Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1^a e 2^a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.

Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear $\;P_{i}(x)$, válida entre os pontos $\;X_{i}$ e $\;X_{i+1}$, obtida a partir da Fórmula de Lagrange:

$P_{i}(x)=Y_{i}A_{i}(x)+Y_{i+1}B_{i}(x)\;,$

onde

$A_{i}(x)={\frac {X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_{i}}}{\mbox{ e }}B_{i}(x)={\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}$

foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2^a é infinita nas fronteiras entre $\;X_{i}$ e $\;X_{i+1}$, devido à descontinuidade da derivada 1^a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos $\;(X_{i},Y_{i})$ e $\;(X_{i+1},Y_{i+1})$ possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1^a no intervalo $\;(X_{i},X_{i+1})$, a derivada segunda é nula nesta região.

Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:

$S_{i}(x)=Y_{i}A_{i}(x)+Y_{i+1}B_{i}(x)+Y''_{i}C_{i}(x)+Y''_{i+1}D_{i}(x)\;.$

Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores $\;\{(X_{i},Y_{i})\}$, a derivada segunda em cada ponto $\;Y''_{i}$ aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções $\;C_{i}(x){\mbox{ e }}D_{i}(x)$ precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que $\;S_{i}(X_{i})=Y_{i}$. Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de $\;C_{i}(x){\mbox{ e }}D_{i}(x)$ já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:

$C_{i}(x)={\frac {1}{6}}A(x)\left[A^{2}(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_{i}\right]^{2}\;{\mbox{ e }}\;D_{i}(x)={\frac {1}{6}}B(x)\left[B^{2}(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_{i}\right]^{2}$

asseguram que $\;S_{i}(X_{i})=Y_{i}$, uma vez que

$C_{i}(X_{i})=D_{i}(X_{i})=C_{i}(X_{i+1})=D_{i}(X_{i+1})=0\;$

pois

$A_{i}(X_{i})=B_{i}(X_{i+1})=1\;{\mbox{ e }}\;A_{i}(X_{i+1})=B_{i}(X_{i})=0\;.$

Com a introdução destes termos, a derivada de $\;S_{i}(x)$ torna-se:

${\frac {dS_{i}(x)}{dx}}={\frac {Y_{i+1}-Y_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}-{\frac {Y''_{i}}{6}}\left[3A_{i}^{2}(x)-1\right](X_{i+1}-X_{i})+{\frac {Y''_{i+1}}{6}}\left[3B_{i}^{2}(x)-1\right](X_{i+1}-X_{i})$

trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em $\;x$, além do termo associado à reta secante. A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:

${\frac {d^{2}S_{i}(x)}{dx^{2}}}=Y''_{i}A_{i}(x)+Y''_{i+1}B_{i}(x)=Y''_{i}{\frac {X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_{i}}}+Y''_{i+1}{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}\;,$

com uma dependência linear em $\;x$. Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, $\;Y''_{i}$, resolvendo os problemas mencionados acima.

Para obtermos os valores de $\{\;Y''_{i}\}$, impomos a continuidade da derivada 1^a nas fronteiras entre $\;X_{i-1}$ e $\;X_{i}$:

${\frac {dS_{i-1}(X_{i})}{dx}}={\frac {dS_{i}(X_{i})}{dx}}\;.$

Usando as propriedades $\;A_{i-1}(X_{i})=B_{i}(X_{i})=0$ e $\;A_{i}(X_{i})=B_{i-1}(X_{i})=1$, obtemos

${\frac {Y_{i}+-Y_{i-1}}{X_{i}-X_{i-1}}}+{\frac {Y''_{i-1}}{6}}(X_{i}-X_{i-1})+{\frac {Y''_{i}}{3}}(X_{i}-X_{i-1})={\frac {Y_{i+1}-Y_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}-{\frac {Y''_{i}}{3}}(X_{i+1}-X_{i})-{\frac {Y''_{i+1}}{6}}(X_{i+1}-X_{i})$

que, apos agrupar os termos convenientemente, nos leva a

${\frac {Y''_{i-1}}{6}}(X_{i}-X_{i-1})+{\frac {Y''_{i}}{3}}(X_{i+1}-X_{i-1})+{\frac {Y''_{i+1}}{6}}(X_{i+1}-X_{i})={\frac {Y_{i+1}-Y_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}-{\frac {Y_{i}-Y_{i-1}}{X_{i}-X_{i-1}}}\;.$

Uma vez que em um conjunto de $\;N$ pontos temos $\;N-2$ fronteiras internas, os valores de $\;Y''_{1}$ e $\;Y''_{N}$ permanecem indeterminados. Eles devem ser obtidos a partir da física do problema tratado. Em geral, os programas gráficos encontrados nas diferentes plataformas usam $\;Y''_{1}=Y''_{N}=0$. Porém, esta não é a única possibilidade. De fato, quaisquer combinações das condições

$\;Y''_{1}=\lambda _{1}{\mbox{ ou }}Y'_{1}=\zeta _{1}$

e

$\;Y''_{N}=\lambda _{2}{\mbox{ ou }}Y'_{N}=\zeta _{2}$

são perfeitamente possíveis, desde que sejam consistentes com a física do problema. Se os vínculos sobre as derivadas forem escolhidos, a expressão para $\;{\frac {dS_{1}(X_{1})}{dx}}=\zeta _{1}$ ou $\;{\frac {dS_{N-1}(X_{N})}{dx}}=\zeta _{2}$ leva, respectivamente, a relações entre $\;Y''_{1}$ e $\;Y''_{2}$ ou $\;Y''_{N-1}$ e $\;Y''_{N}$. A obtenção destas relações é deixada como exercício.

Deve ser observado que a solução do problema envolve a resolução de um sistema de $\;N-2$ equações lineares acopladas. Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:

${\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1N}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{N1}&b_{N2}&\cdots &b_{NN}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y''_{1}\\Y''_{2}\\\vdots \\Y''_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\\\vdots \\f_{N}\end{pmatrix}}$

onde

$f_{i}={\frac {Y_{i+1}-Y_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}-{\frac {Y_{i}-Y_{i-1}}{X_{i}-X_{i-1}}}\;,\;\;\;\;\;i>1{\mbox{ e }}i<N.$

$\;b_{1i}=0\;\;\;\;i>2\;\;\;\;{\mbox{ e }}\;\;\;\;b_{Ni}=0\;\;\;\;i<N-1$

e os demais elementos são apresentados logo abaixo.

Deste modo, a obtenção de $\;\{Y''_{i}\}$ requer a inversão de uma matriz, o que é uma tarefa custosa e delicada numericamente (veja, por exemplo, Numerical Recipes). Uma vez que a equação para a i-ésima fronteira envolve apenas $Y_{i-1},\;Y_{i}{\mbox{ e }}Y_{i+1}$, somente as três diagonais principais da matriz acima são não nulas, isto é, $\;\mathbf {b}$ é uma matriz tri-diagonal. Assim, os elementos de $\;\mathbf {b}$, excluindo-se aqueles associados às fronteiras, são dados por:

$b_{i,i-1}\equiv b_{i}^{-}={\frac {1}{6}}(X_{i}-X_{i-1})\;,$

$b_{i,i}\equiv b_{i}^{0}={\frac {1}{3}}(X_{i+1}-X_{i-1})$

$b_{i,i+1}\equiv b_{i}^{+}={\frac {1}{6}}(X_{i+1}-X_{i})\;.$

Caso os vínculos nas fronteiras sejam impostos sobre $\;Y''_{1}$ e $\;Y''_{N}$, temos

$b_{1j}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}j=1\\0,&{\mbox{se }}j>1\end{matrix}}\right.$

e

$b_{Nj}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}j=N\\0,&{\mbox{se }}j<N\end{matrix}}\right.$

com $\;f_{1}=\lambda _{1}{\mbox{ e }}f_{N}=\lambda _{2}$ sendo os valores impostos sobre a derivada segunda nos pontos $\;X_{1}$ e $\;X_{N}$, respectivamente. Mais uma vez, o caso em que as condições são impostas sobre a derivada 1^a é deixado como exercício.

Sendo $\;\mathbf {b}$ uma matriz tri-diagonal, a solução do problema é bastante simples e é discutida na seção Eliminação gaussiana e retro-substituição.

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