Spline cúbico
Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1a e 2a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.
Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;P_i(x)}
, válida entre os pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_i}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_{i+1}}
, obtida a partir da Fórmula de Lagrange:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i(x)=Y_i A_i(x)+Y_{i+1} B_i(x)\;, }
onde
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i(x)=\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i} \mbox{ e } B_i(x)=\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i} }
foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2a é infinita nas fronteiras entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_{i+1}} , devido à descontinuidade da derivada 1a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;(X_i,Y_i)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;(X_{i+1},Y_{i+1})} possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1a no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;(X_i,X_{i+1})} , a derivada segunda é nula nesta região.
Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_i(x)=Y_i A_i(x) + Y_{i+1} B_i(x) + Y''_i C_i(x) + Y''_{i+1} D_i(x)\;. }
Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\{(X_i,Y_i)\}} , a derivada segunda em cada ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_i} aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;C_i(x) \mbox{ e } D_i(x)} precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;S_i(X_i)=Y_i} . Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;C_i(x) \mbox{ e } D_i(x)} já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_i(x)=\frac{1}{6}A(x)\left[A^2(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_i\right]^2\; \mbox{ e }\; D_i(x)=\frac{1}{6}B(x)\left[B^2(x)-1\right]\left[X_{i+1}-X_i\right]^2 }
asseguram que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;S_i(X_i)=Y_i} , uma vez que
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_i(X_i)=D_i(X_i)=C_i(X_{i+1})=D_i(X_{i+1})=0\; }
pois
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i(X_i)=B_i(X_{i+1})=1\;\mbox{ e }\; A_i(X_{i+1})=B_i(X_i)=0\;. }
Com a introdução destes termos, a derivada de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;S_i(x)}
torna-se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d S_i(x)}{d x}=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y''_i}{6}\left[3A_i^2(x)-1\right](X_{i+1}-X_i) +\frac{Y''_{i+1}}{6}\left[3B_i^2(x)-1\right](X_{i+1}-X_i) }
trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;x} , além do termo associado à reta secante. A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^2 S_i(x)}{d x^2}= Y''_i A_i(x)+Y''_{i+1}B_i(x) = Y''_i\frac{X_{i+1}-x}{X_{i+1}-X_i}+Y''_{i+1}\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}\;, }
com uma dependência linear em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;x} . Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_i} , resolvendo os problemas mencionados acima.
Para obtermos os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\;Y''_i\}} , impomos a continuidade da derivada 1a nas fronteiras entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_{i-1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_i} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d S_{i-1}(X_i)}{dx}=\frac{d S_i(X_i)}{dx}\;. }
Usando as propriedades Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;A_{i-1}(X_i)=B_i(X_i)=0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;A_i(X_i)=B_{i-1}(X_i)=1} , obtemos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{Y_i+-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}+\frac{Y''_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1}) +\frac{Y''_i}{3}(X_i-X_{i-1}) =\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y''_i}{3}(X_{i+1}-X_i)-\frac{Y''_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i) }
que, apos agrupar os termos convenientemente, nos leva a
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{Y''_{i-1}}{6}(X_i-X_{i-1})+\frac{Y''_i}{3}(X_{i+1}-X_{i-1})+\frac{Y''_{i+1}}{6}(X_{i+1}-X_i) =\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}\;. }
Uma vez que em um conjunto de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;N} pontos temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;N-2} fronteiras internas, os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_N} permanecem indeterminados. Eles devem ser obtidos a partir da física do problema tratado. Em geral, os programas gráficos encontrados nas diferentes plataformas usam Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_1=Y''_N=0} . Porém, esta não é a única possibilidade. De fato, quaisquer combinações das condições
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_1=\lambda_1 \mbox{ ou } Y'_1=\zeta_1 }
e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_N=\lambda_2 \mbox{ ou } Y'_N=\zeta_2 }
são perfeitamente possíveis, desde que sejam consistentes com a física do problema. Se os vínculos sobre as derivadas forem escolhidos, a expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\frac{d S_{1}(X_1)}{dx}=\zeta_1}
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\frac{d S_{N-1}(X_N)}{dx}=\zeta_2}
leva, respectivamente, a relações entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_1}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_2}
ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_{N-1}}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_N}
. A obtenção destas relações é deixada como exercício.
Deve ser observado que a solução do problema envolve a resolução de um sistema de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;N-2}
equações lineares acopladas. Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1N} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{N1} & b_{N2} & \cdots & b_{NN} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Y''_1\\ Y''_2\\ \vdots\\ Y''_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1\\ f_2\\ \vdots\\ f_N \end{pmatrix} }
onde
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_i=\frac{Y_{i+1}-Y_i}{X_{i+1}-X_i}-\frac{Y_i-Y_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}\;,\;\;\;\;\; i > 1 \mbox{ e } i < N. }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;b_{1i}=0\;\;\;\;i>2\;\;\;\; \mbox{ e }\;\;\;\; b_{Ni} = 0\;\;\;\;i<N-1 }
e os demais elementos são apresentados logo abaixo.
Deste modo, a obtenção de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\{Y''_i\}}
requer a inversão de uma matriz, o que é uma tarefa custosa e delicada numericamente (veja, por exemplo, Numerical Recipes).
Uma vez que a equação para a i-ésima fronteira envolve apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_{i-1},\; Y_i \mbox{ e } Y_{i+1}}
,
somente as três diagonais principais da matriz acima são não nulas, isto é, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\mathbf{b}}
é uma
matriz tri-diagonal.
Assim, os elementos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\mathbf{b}}
, excluindo-se aqueles associados às fronteiras, são dados por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{i,i-1}\equiv b^-_i=\frac{1}{6}(X_i-X_{i-1})\;, }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{i,i}\equiv b^0_i=\frac{1}{3}(X_{i+1}-X_{i-1}) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{i,i+1}\equiv b^+_i=\frac{1}{6}(X_{i+1}-X_i)\;. }
Caso os vínculos nas fronteiras sejam impostos sobre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;Y''_N} , temos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{1j} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se } j=1 \\ 0, & \mbox{se } j > 1 \end{matrix}\right. }
e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_{Nj} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se } j=N \\ 0, & \mbox{se } j < N \end{matrix}\right. }
com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;f_1=\lambda_1 \mbox{ e } f_N=\lambda_2} sendo os valores impostos sobre a derivada segunda nos pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;X_N} , respectivamente. Mais uma vez, o caso em que as condições são impostas sobre a derivada 1a é deixado como exercício.
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \;\mathbf{b}} uma matriz tri-diagonal, a solução do problema é bastante simples e é discutida na seção Eliminação gaussiana e retro-substituição.
Voltar para o índice de Métodos computacionais.