Eliminação gaussiana e retro-substituição

De Física Computacional
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Em diversos problemas da fisica, como na interpolação por Spline cúbicos, resolução de equações diferenciais, etc, envolvem equações do tipo

ou na forma matricial

A matriz e o vetor são dados do problema e representa a solução procurada. A primeira vista, trata-se de um problema simples, bastanto calcular para se obter:

Contudo, alguns aspectos devem ser levados em consideração. Em primeiro lugar, do ponto de vista numérico, a inversão de matrizes é um problema sutil e muito oneroso do ponto de vista computacional (veja Numerical Recipes, por exemplo). Por isto, é fortemente recomendável que se procure algoritmos numéricos bem estabelecidos para a realização da tarefa. Tendo em vista que tais algoritmos estão implementados e testados há várias décadas, isto leva a crer que não há dificuldades na resolução do problema. Entretanto, o custo em tempo é algo não desprezível e pode comprometer seriamente um estudo no qual esta equação tenha que ser resolvida muitas vezes. Por exemplo, se os coeficientes , e , e/ou variam com o tempo, a matriz deve ser invertida a cada passo da evolução.


Entretanto, nos casos em que o sistema de equações envolve apenas os termos em , e , a matriz é tri-diagonal, isto é, apenas os elementos de suas 3 diagonais principais são não-nulos. Neste caso, a soulção do problema é bastante segura, simples e eficiente do ponto de vista numérico.


De fato, o sistema de equações acima sugere que a solução pode ser escrita da seguinte forma:

onde e devem ser determinados a partir do sistema de equações. Substituindo a expressão acima na Eq. (1), temos:

o que leva a

onde

Reescrevendo a Eq. (2) como

podemos comparar esta expressão com a Eq. (3), o que nos leva, finalmente, a

e


As equações (2) e (4-6) mostram que a solução do problema é bastante simples. Dado o valor de , temos e . Uma vez obtidas estas quantidades, calculamos e , por meio das equações (4-6), de até . Após isto, pode ser obtido por meio da equação (2), partindo de até .


É importante notar que a solução do problema só é possível se forem fornecidos os valores de e . A especificação destes valores está associada às condições de contorno, que são determinadas pela física do problema. Na realidade, também é comum se encontrar problemas onde os valores das derivadas são fixados em uma ou ambas das bordas. Se ou forem impostos, temos:

e

o que leva a

e

Usando a equação (2), encontramos:

e

A partir destes resultados, as relações de recorrência podem ser aplicadas.



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