Fórmula de Lagrange

Polinômios de Lagrange

Baseado no fato de que sobre $N$ pontos $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\cdots ,(X_{N},Y_{N})$ passa um único polinômio de grau $N-1$, o Polinômio de Lagrange pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

$P(x)=\sum _{i=1}^{N}Y_{i}L_{i}(x)$

onde

$L_{i}(x)=\prod _{j=1,j\neq i}^{N}{\frac {x-X_{j}}{X_{i}-X_{j}}}={\frac {x-X_{1}}{X_{i}-X_{1}}}\cdots {\frac {x-X_{i-1}}{X_{i}-X_{i-1}}}{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}\cdots {\frac {x-X_{N}}{X_{i}-X_{N}}}$

é um polinômio de grau $\;N-1$ em $\;x$. Tendo em vista que $L_{i}(X_{j})=\delta _{i,j}\;,$ onde o delta de Kronecker

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

é fácil verificar que, de fato,$\;P(X_{i})=Y_{i}$. Assim,$\;P(x)$ pode ser empregado para se estimar o valor de $\;Y(x)$ em pontos $\;x$ não tabulados.

Exemplo 1

Fórmula de Lagrange para N=2.

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos $(X_{1},Y_{1})=(1,9)$ e $(X_{2},Y_{2})=(2,13)$, tendo assim $N=2$. Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

$L_{1}={\frac {x-X_{2}}{X_{1}-X_{2}}}={\frac {x-2}{1-2}}=-(x-2)$

e

$L_{2}={\frac {x-X_{1}}{X_{2}-X_{1}}}={\frac {x-1}{2-1}}=(x-1)$,

assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:

$P(x)=\sum _{i=1}^{N}Y_{i}L_{i}(x)=Y_{1}L_{1}+Y_{2}L_{2}=9(-x+2)+13(x-1)=4x+5$.

Note que substituindo na equação acima, $P(1)=9$ e $P(2)=13$.

Exemplo 2

Fórmula de Lagrange para N=3.

Verificando a fórmula de Lagrange para $N=3$. Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos $(X_{1},Y_{1})=(2,4)$, $(X_{2},Y_{2})=(3,9)$ e $(X_{3},Y_{3})=(6,36)$. Temos que:

$L_{1}=\left({\frac {x-X_{2}}{X_{1}-X_{2}}}\right)\left({\frac {x-X_{3}}{X_{1}-X_{3}}}\right)=\left({\frac {x-3}{2-3}}\right)\left({\frac {x-6}{2-6}}\right)={\frac {x^{2}-9x+18}{4}}$,

$L_{2}=\left({\frac {x-X_{1}}{X_{2}-X_{1}}}\right)\left({\frac {x-X_{3}}{X_{2}-X_{3}}}\right)=\left({\frac {x-2}{3-2}}\right)\left({\frac {x-6}{3-6}}\right)=-{\frac {x^{2}-8x+12}{3}}$

e

$L_{3}=\left({\frac {x-X_{1}}{X_{3}-X_{1}}}\right)\left({\frac {x-X_{2}}{X_{3}-X_{2}}}\right)=\left({\frac {x-2}{6-2}}\right)\left({\frac {x-3}{6-3}}\right)={\frac {x^{2}-5x+6}{12}}$,

assim

$P(x)=\sum _{i=1}^{N}Y_{i}L_{i}(x)=Y_{1}L_{1}+Y_{2}L_{2}+Y_{3}L_{3}=4{\frac {x^{2}-9x+18}{4}}-9{\frac {x^{2}-8x+12}{3}}+36{\frac {x^{2}-5x+6}{12}}=x^{2}$.

Exemplo 3

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com $N=4$. Considerando os quatro pontos $(X_{1},Y_{1})=(-1,5)$, $(X_{2},Y_{3})=(1,2)$, $(X_{3},Y_{3})=(-3,5)$ e $(X_{4},Y_{4})=(7,4)$, as equações $L_{i}$ ficam

$L_{1}=-{\frac {1}{64}}(x^{3}-11x^{2}+31x-21)$,

$L_{2}={\frac {1}{24}}(x^{3}-9x^{2}+11x+21)$,

$L_{3}=-{\frac {1}{32}}(x^{3}-7x^{2}-x+7)$

e

$L_{4}={\frac {1}{192}}(x^{3}-3x^{2}-x+3)$.

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos $(X_{i},Y_{i})$, as curvas $L_{i}Y_{i}$ e a curva final $P(x)$. Lembre-se que $P(x)$ é a curva gerada pela soma dos polinômios $L_{i}Y_{i}$. Note que a curva $L_{1}Y_{1}$ passa pelo ponto $(X_{1},Y_{1})$, assim como as demais e a curva $P(x)$ passa por todos os pontos.

Numericamente

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada. Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada ${X_{i},Y_{i}}$, devolva um polinômio $P(x)$ interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima). Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N: devem ser somados N termos (os $L_{i}(x)$) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo $N^{2}$ cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula geral do $P(x)$).

O Algoritmo de Neville [1], Implementação do algoritmo de Neville, é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por $P_{1}(x)=Y_{1},\;P_{2}(x)=Y_{2},\;\cdots \,\;P_{N}(x)=Y_{N}$. Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo $[X_{i},\;X_{i+1}]$, denotamos por $P_{12}(x),\;P_{23}(x),\;\cdots ,\;P_{N-1,N}(x)$, onde $P_{i,i+1}(x)\;$é o polinômio que passa exatamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;$e$\;(X_{i+1},Y_{i+1})$:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\;.$

Vemos que $P_{i,i+1}(x)\;$pode ser escrito como:

$P_{i,i+1}(x)={\frac {(x-X_{i+1})P_{i}(x)-(x-X_{i})P_{i+1}(x)}{X_{i}-X_{i+1}}}$

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem $\;n$ com os de ordem $\;n+1$. Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre $(X_{i},Y_{i})\;,(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$, que denotaremos por,$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {x-X_{i+1}}{X_{i}-X_{i+1}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i}-X_{i+2}}}Y_{i}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i}}{X_{i+2}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}$

Fatorando $\;1/(X_{i}-X_{i+2})$ e somando e subtraindo ${\frac {x-X_{i}}{X_{i+1}-X_{i}}}(x-X_{i+2})Y_{i+1}$, obtemos:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-F(x)\right]$

onde

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}-{\frac {X_{i}-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i}}}Y_{i+1}\right]\;.$

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter sido somado à expressão que levou a$\;P_{i,i+1}(x)$ na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$. Rearranjando os termos acima, encontramos:

$F(x)=(x-X_{i})\left[{\frac {x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}}Y_{i+1}+{\frac {x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}}Y_{i+2}\right]=(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\;.$

Substituindo este resultado na equação para$\;P_{i,i+1,i+2}(x)$, obtemos finalmente:

$P_{i,i+1,i+2}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+2}}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2}(x)\right]$

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem $\;n$ e $\;n+1$ pontos, cuja forma geral é dada por:

$P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)={\frac {1}{X_{i}-X_{i+k}}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)-(x-X_{i})P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\right]$

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para $\;P(x)$, é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

$D_{k,i}^{(1)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots ,i+k-1}(x)$

e

$D_{k,i}^{(2)}(x)=P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots ,i+k}(x)\;.$

Ao invés de se gerar $\;P(x)$ a partir da relação de recorrência para $P_{i,i+1,\cdots ,i+k}(x)$, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para $\;D^{(1)}{\mbox{ e }}D^{(2)}$. No final, obtemos $\;P(x)$ a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos $\;\{X_{i}\}$ serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

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Como discutido na seção Interpolação e extrapolação, é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse $\;X$, deve ser empregado. Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos $\;\{(X_{i},Y_{i})\}$. Se desejamos estimar o valor de $\;Y$ no interior da região $[X_{1},\;X_{N}]$, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas, utilizando apenas $(X_{i-1},Y_{i-1}),\;(X_{i},Y_{i}),\;(X_{i+1},Y_{i+1})$ e$\;(X_{i+2},Y_{i+2})$.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1^a e 2^a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, Spline cúbico).

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