Fórmula de Lagrange

De Física Computacional
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Polinômios de Lagrange

Baseado no fato de que sobre pontos passa um único polinômio de grau , o Polinômio de Lagrange pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

onde

é um polinômio de grau em . Tendo em vista que onde o delta de Kronecker

é fácil verificar que, de fato,. Assim, pode ser empregado para se estimar o valor de em pontos não tabulados.



Exemplo 1

Fórmula de Lagrange para N=2.

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos e , tendo assim . Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

e

,

assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:

.

Note que substituindo na equação acima, e .

Exemplo 2

Fórmula de Lagrange para N=3.

Verificando a fórmula de Lagrange para . Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos , e . Temos que:

,

e

,

assim


.


Exemplo 3

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com . Considerando os quatro pontos , , e , as equações ficam

,
,

e

.

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos , as curvas e a curva final . Lembre-se que é a curva gerada pela soma dos polinômios . Note que a curva passa pelo ponto , assim como as demais e a curva passa por todos os pontos.

Lagrange.png


Numericamente

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada. Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada , devolva um polinômio interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima). Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N: devem ser somados N termos (os ) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula geral do ).

O Algoritmo de Neville [1], Implementação do algoritmo de Neville, é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por . Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo , denotamos por , onde é o polinômio que passa exatamente sobre e:

Vemos que pode ser escrito como:

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem com os de ordem . Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre e, que denotaremos por,:

Fatorando e somando e subtraindo , obtemos:

onde

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter sido somado à expressão que levou a na equação para. Rearranjando os termos acima, encontramos:

Substituindo este resultado na equação para, obtemos finalmente:

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem e pontos, cuja forma geral é dada por:

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para , é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

e

Ao invés de se gerar a partir da relação de recorrência para , pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para . No final, obtemos a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.


Como discutido na seção Interpolação e extrapolação, é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse , deve ser empregado. Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos . Se desejamos estimar o valor de no interior da região , ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas, utilizando apenas e.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1a e 2a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, Spline cúbico).