Spline cúbico

De Física Computacional
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Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1a e 2a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.


Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear , válida entre os pontos e , obtida a partir da Fórmula de Lagrange:

onde

foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2a é infinita nas fronteiras entre e , devido à descontinuidade da derivada 1a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos e possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1a no intervalo , a derivada segunda é nula nesta região.

Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:

Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores , a derivada segunda em cada ponto aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que . Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:

asseguram que , uma vez que

pois


Com a introdução destes termos, a derivada de torna-se:

trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em , além do termo associado à reta secante. A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:

com uma dependência linear em . Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, , resolvendo os problemas mencionados acima.

Para obtermos os valores de , impomos a continuidade da derivada 1a nas fronteiras entre e :

Usando as propriedades e , obtemos

que, apos agrupar os termos convenientemente, nos leva a

Uma vez que em um conjunto de pontos temos fronteiras internas, os valores de e permanecem indeterminados. Eles devem ser obtidos a partir da física do problema tratado. Em geral, os programas gráficos encontrados nas diferentes plataformas usam . Porém, esta não é a única possibilidade. De fato, quaisquer combinações das condições


e


são perfeitamente possíveis, desde que sejam consistentes com a física do problema. Se os vínculos sobre as derivadas forem escolhidos, a expressão para ou leva, respectivamente, a relações entre e ou e . A obtenção destas relações é deixada como exercício.


Deve ser observado que a solução do problema envolve a resolução de um sistema de equações lineares acopladas. Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:



onde



e os demais elementos são apresentados logo abaixo.


Deste modo, a obtenção de requer a inversão de uma matriz, o que é uma tarefa custosa e delicada numericamente (veja, por exemplo, Numerical Recipes). Uma vez que a equação para a i-ésima fronteira envolve apenas , somente as três diagonais principais da matriz acima são não nulas, isto é, é uma matriz tri-diagonal. Assim, os elementos de , excluindo-se aqueles associados às fronteiras, são dados por:

Caso os vínculos nas fronteiras sejam impostos sobre e , temos

e

com sendo os valores impostos sobre a derivada segunda nos pontos e , respectivamente. Mais uma vez, o caso em que as condições são impostas sobre a derivada 1a é deixado como exercício.

Sendo uma matriz tri-diagonal, a solução do problema é bastante simples e é discutida na seção Eliminação gaussiana e retro-substituição.



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