Upwind Differencing

Foram apresentados métodos numéricos eficientes com propósitos gerais para resolver a equação de advecção. Entretanto, é necessário restringir nossa abordagem a formas de onda suficientemente suaves para evitar oscilações espúrias tanto nas bordas de ataque quanto nas bordas de queda da forma de onda. Uma abordagem reconhecida para suprimir desvios nas extremidades inicial e final de uma forma de onda afiada é a adoção de um esquema conhecido como "esquema de diferenças upwind".

Nesse esquema, as diferenças espaciais são inclinadas na direção "upwind", ou seja, na direção de onde o fluxo advectivo se origina.

Portanto, a versão upwind do simples esquema de diferenças explícitas é escrita da seguinte forma:

Para $v>0$:

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+v{\frac {\Delta u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0$

(15)

Para $v<0$:

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+v{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0$

(16)

Combinando (15) e (16):

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t(v^{+}u_{x}^{-}+v^{-}u_{x}^{+})$

(17)

Onde

${\begin{cases}v^{+}&=max(v,0)\\v^{-}&=min(v,0)\\\end{cases}}$

e

${\begin{cases}u_{x}^{-}&={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\\u_{x}^{+}&={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}\end{cases}}$

O esquema upwind é estável quando a seguinte condição Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) é atendida:

$|v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}|\leq 1$

Implementação do método

• Condição inicial: $u(x,0)=1-\cos(x)$;

• Condições de contorno para bordas cíclicas.

# Solução pelo método Upwind para equação de advecção

def Upwindad(L, tf, v, Nx, Nt):
    """
    Parâmetros:
    - L: comprimento
    - tf: tempo final
    - v: velocidade de propagação
    - Nx: número de pontos na direção espacial
    - Nt: número de pontos na direção temporal

    Retorna:
    - Matriz com a solução da equação da onda
    """

    dx = L / (Nx - 1)
    dt = tf / (Nt - 1)
    r = v * dt / dx

    u = np.zeros((Nt, Nx+1))

    # Condição inicial: u(x,0) = f(x)
    x = np.linspace(0, L, Nx+1)
    u[0,:] = 1 - np.cos(x)  # Função que descreve a perturbação da onda

    # Condições de contorno borda infinita:
    xpos = np.zeros(Nx+1)
    xneg = np.zeros(Nx+1)

    for i in range(0, Nx+1):
        xpos[i] = i+1
        xneg[i] = i-1
    xpos[Nx] = 0
    xneg[0] = Nx

    # Iteração no tempo
    for n in range(0, Nt - 1):
        for i in range(0, Nx+1):
            v_mais = np.maximum(v, 0)
            v_menos = np.minimum(v, 0)
            u_x_mais = 1/dx * (u[n, int(xpos[i])] - u[n, i])
            u_x_menos = 1/dx * (u[n, i] - u[n, int(xneg[i])])

            u[n+1, i] = u[n, i] - dt * (v_mais * u_x_menos + v_menos * u_x_mais)

    return u

# Parâmetros
L = 2*np.pi
tf =1
v = -1 # -1. muda direção de propagação
Nx = 100
Nt = 500

solv4 = Upwindad(L, tf, v, Nx, Nt)

listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
listT = np.linspace(0, tf, Nt)

X, T = np.meshgrid(listX, listT)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.pcolormesh(X, T, solv4, cmap='viridis', shading='auto')
plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Tempo (t)')
plt.title('Solução Upwind da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
plt.show()

Solução pelo método upwind differencing

# Teste: Plota todas as cuvas amplitude por posição de todos os tempos:

for tt in range(len(listT-1)):
  amplitudes_tt = solv4[ tt,:]
  plt.plot(listX, amplitudes_tt)

plt.title('Amplitude em Função da Posição')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Amplitude (u)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Solução pelo método Lax-Wendroff