Probabilidade básica

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Conceitos importantes:

• Experimento aleatório: experiência cujo resultado não é conhecido com certeza;

• Espaço amostral : conjunto formado por todos os possíveis resultados um experimento aleatório;

• Eventos: subconjuntos do espaço amostral;

• Espaço equiprovável: espaço em que todos os pontos amostrais tem a mesma chance de ocorrer;

• Probabilidade de ocorrer um evento:

  • Definição clássica (a priori):

  • Definição frequentista (a posteriori):

  • Definição axiomática:

    • Se são eventos mutuamente exclusivos, então:

• Eventos exclusivos: :

  • Eventos complementares: e

• União dos eventos (A ou B):

• Probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, se ocorrer B):

Para eventos independentes:

Então para eventos independentes temos que a probabilidade de ocorrer o evento A e B é:

Mas para um caso mais geral:

Ou seja a probabilidade de ocorrer os dois é a probabilidade de ocorrer o evento B () multiplicado pela probabilidade de ocorrer o evento A se ocorrer o evento B , ou o contrário. Como exemplo vamos analisar duas formas de encarar a probabilidade de uma presa morrer, para isso vamos definir algumas coisas:

• Os animais podem ser extintos por predação e outros fatores naturais (falta de alimento, idade, etc);
• Os parâmetros são definidos em  ;
• Será utilizada a interpretação à priori:
  • , no evento a presa é extinta por outros fatores naturais e sobrevive.
  • , onde a presa é predada e sobrevive.

O primeiro caso é computando a probabilidade total da presa ser extinta como . Ou seja é como se cada presa tem 40% de chance no total de ser extinta, onde desses 40%, 20% é devido a predação e 20% por outros fatores naturais. A probabilidade então de ser extinta, considerando que é dada pela união dos conjuntos que dizem respeito a ser predada e ser extinta por fatores naturais é:

Temos . Então se ocorreu , não pode ocorrer , , ou vice-versa, são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, as combinações possíveis onde não ocorre extinção é:

Lembrando não podemos repetir os eventos, nem de extinção, nem de sobrevivência. Se retirarmos a extinção no primeiro evento não podemos retirar no segundo, por exemplo ou , , então o espaço amostral total é:

A probabilidade de ocorrer extinção é . Outra forma de computar a probabilidade total de uma presa ser extinta, é tratar a probabilidade de ser extinta por causas naturais (), e a probabilidade de ser predada a cada encontro com predador () como eventos independentes. Portanto a probabilidade total da presa ser extinta neste cenário é . Isto é:

Agora a probabilidade é . Que é o mesmo resultado se fazemos

Principais materiais utilizados

1. Introdução à Teoria das Probabilidades (Victor Hugo Lachos Davila, UNICAMP)

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