Mudanças entre as edições de "Modelo de Levins aprimorado para 3 espécies"
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Para três espécies o modelo de Levins se torna: | Para três espécies o modelo de Levins se torna: | ||
| − | <math>\begin{align} | + | <math display="block">\begin{align} |
\frac{dx_{1}}{dt}= & c_{1}x_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-e_{1}x_{1}-\mu_{1}x_{1}y \\ | \frac{dx_{1}}{dt}= & c_{1}x_{1}\left(1-D-x_{1}\right)-e_{1}x_{1}-\mu_{1}x_{1}y \\ | ||
\frac{dx_{2}}{dt}= & x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right] \\ | \frac{dx_{2}}{dt}= & x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right] \\ | ||
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====== Ovelha ====== | ====== Ovelha ====== | ||
| − | <math>\frac{dx_{2}}{dt}= x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right]</math> | + | <math display="block">\frac{dx_{2}}{dt}= x_{2}\left[c_{2}\left(1-D-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}\right)-\left(e_{2}+\mu_{2}y+c_{x_{1}}x_{1}\right)\right]</math> |
A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso <math display="inline">c_{2}</math> '''e''' a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é <math display="inline">P\left(F_{D}^{O}\right)</math>. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:<math display="block">P\left(F_{D}^{G}\right)=\left(1-D-x_{1}\right)</math>Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é <math display="inline">D</math>, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é <math display="inline">x_{1}</math>, e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por <math display="inline">D+x_{1}</math>, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}\right)</math>. | A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso <math display="inline">c_{2}</math> '''e''' a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é <math display="inline">P\left(F_{D}^{O}\right)</math>. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:<math display="block">P\left(F_{D}^{G}\right)=\left(1-D-x_{1}\right)</math>Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é <math display="inline">D</math>, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é <math display="inline">x_{1}</math>, e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por <math display="inline">D+x_{1}</math>, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por <math display="inline">1-\left(D+x_{1}\right)</math>. | ||
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====== '''Puma''' ====== | ====== '''Puma''' ====== | ||
| − | <math>\frac{dy}{dt}= y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] </math> | + | <math display="block">\frac{dy}{dt}= y\left[c_{y}\left[\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)-y\left(x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\right)\right]-e_{y}\right] </math> |
Começando com a parte simples do que já discutimos, a população é reduzida devido a um fator de extinção <math display="inline">e_{y}</math>, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. <div class="center">[[Ficheiro:Veinn.png|esquerda|miniaturadaimagem|208x208px|[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn Diagrama de Veinn] representando os conjuntos envolvidos no sistema.]] | Começando com a parte simples do que já discutimos, a população é reduzida devido a um fator de extinção <math display="inline">e_{y}</math>, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. <div class="center">[[Ficheiro:Veinn.png|esquerda|miniaturadaimagem|208x208px|[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn Diagrama de Veinn] representando os conjuntos envolvidos no sistema.]] | ||
Edição das 20h48min de 13 de abril de 2021
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Para três espécies o modelo de Levins se torna:
Guanaco
Podemos perceber que é a mesma equação para a presa no modelo de duas 2 espécies, proporcional a população atual.
O termo responsável pelo aumento na população é o que representa a colonização. Podemos pensar em termos probabilísticos, que temos 3 eventos independentes:
- Probabilidade
de selecionar um fragmento com um guanaco disponível para tentar a colonização;
- Probabilidade
selecionar um fragmento disponível para ser colonizado;
- Probabilidade
de que cada tentativa de colonização tenha sucesso.
A queda na população acontece por dois termos que representam dois eventos diferentes:
- Extinção local: depende da taxa
. Temos como dois eventos independentes a probabilidade 
selecionar um fragmento com guanaco e a probabilidade 
de que cada guanaco sofra a extinção local.
- Predação: depende da população de predadores
e a taxa de predação 
. Novamente podemos interpretar como três eventos independentes. Probabilidade 
de selecionarmos uma puma, probabilidade de selecionarmos um guanaco e probabilidade 
de ocorrer a predação a cada encontro. Assim como o modelo de Lotka-Volterra, a predação é proporcional a população de ambas as espécies.
Ovelha
A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso 
e a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é 
. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:
Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é 
, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é , e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por 
, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por 
.
Agora precisamos considerar os fragmentos que estão destruídos e os ocupados por ovelhas ou guanacos. Mas a ocupação de guanacos e ovelhas não é exclusiva, isto é, temos fragmentos ocupados por guanacos e ovelhas. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento ocupado por guanaco ou ovelha é dado por 
, uma vez são eventos independentes. Sendo assim a probabilidade de selecionarmos um fragmento indisponível é dado por 
. E novamente recorrendo a complementaridade, a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível para a ovelha é dada por então por 
.
De resto, a população diminui de forma semelhante ao guanaco:
- Termo de extinção local: proporcional a taxa de extinção local
;
- Termo de predação: proporcional a população de predadores e a taxa de predação
.;
- Termo de deslocamento: ocorre devido a competição hierárquica e matematicamente é idêntico a predação, apenas substituímos
e 
.
Puma
, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. 
. Além disso, também precisamos descontar os fragmentos que já estão ocupados por pumas, então precisamos descontar os que possuem guanaco e puma 
, ovelha e puma 
. Porém novamente, não podemos descontar duas vezes os fragmentos que possuem ovelha, guanaco e puma, então é necessário "devolver" 
. Temos então:
Como são todos eventos independentes:
E substituindo as probabilidades pelas frações:
E como 
, podemos reescrever como:
Ou ainda:
Denotando o espaço complementar como 
:
Ou seja o termo de colonização é proporcional aos fragmentos ocupados pelas ovelhas e guanacos 
e os fragmentos livres das pumas 
Principal material utilizado
- Mathematical model of livestock and wildlife: Predationand competition under environmental disturbances (Fabiana Laguna e outros, Ecological Modelling)
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