Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis $u$ e $v$, a reação pode ser representada como

$u+2v\to 3v$

Isso significa que uma molécula da substância $u$ é transformada em uma molécula da substância $v$ por meio da ação de outras duas moléculas da substância $v$, ou seja, $v$ é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações $u$ e $v$ mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., $3v\to u+2v$) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}&=-uv^{2}+F(1-u)+D_{u}\nabla ^{2}u\\{\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}&=uv^{2}-(F+k)v+D_{v}\nabla ^{2}v\quad (1)\\\end{aligned}}$

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma. Em um dado ponto, a variação na concentração $u$ aumenta proporcionalmente ao laplaciano de $u$ naquele ponto, i.e., quando a concentração $u$ na vizinhança desse ponto é alta; e proporcionalmente à taxa $F$ de reposição de $u$ (taxa de alimentação, ou feed rate). A concentração $u$ diminui com o termo reativo $-uv^{2}$, que representa a reação $u+2v\to 3v$.

De outro lado, na segunda das equações acima, a concentração $v$ aumenta com o termo reativo $uv^{2}$ e também proporcionalmente ao laplaciano de $v$ naquele ponto, mas diminui com a remoção de $v$ a uma taxa $F+k$, mais rápida, portanto, do que a reposição de $u$.

$F$ e $k$ são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão $D_{u}$ e $D_{v}$.

O sistema pode ser imaginado como consistindo em duas substâncias $u$ e $v$, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância $u$, mas não da substância $v$, e permite a saída da substância $v$, mas não da substância $u$.

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u},D_{v}$ das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor $\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0$ nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão ($D_{u}=D_{v}=0$), obtém-se o seguinte sistema de equações:

${\begin{aligned}-&uv^{2}+F(1-u)=0\\&uv^{2}-(F+k)v=0\quad (2)\\\end{aligned}}$

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis $u$ e $v$:

$F(1-u)-(F+k)v=0\Rightarrow u=1-\gamma v\quad (3)$

onde definiu-se o parâmetro auxiliar $\gamma ={\frac {F+k}{F}}$.

Substituindo $u$ na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo $F+k=\gamma F$), ficamos com:

$\left(1-\gamma v\right)v^{2}-\gamma Fv=0\Rightarrow -\gamma v^{3}+v^{2}-\gamma Fv=0\quad (4)$

Evidentemente, $v=0$ é solução dessa equação, implicando em $u=1$, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando $v\neq 0$, podemos dividir (4) por $v$, ficando com $-\gamma v^{2}+v-\gamma F=0$. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para $v$:

$v_{\pm }={\frac {1}{2\gamma }}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para $u$ são:

$u_{\mp }={\frac {1}{2}}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( $1-4\gamma ^{2}F\geq 0$ ). Por consequência:

$4\gamma ^{2}F\leq 1\Rightarrow 4\left({\frac {F+k}{F}}\right)^{2}F\leq 1\Rightarrow F\geq 4(F+k)^{2}$, para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias $(u_{i}^{*},v_{i}^{*})$ do sistema:

${\begin{aligned}&u_{0}^{*}=1&v_{0}^{*}&=0&\\&u_{1}^{*}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&v_{1}^{*}&={\frac {1}{2\gamma }}(1-{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&\quad (5)\\&u_{2}^{*}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&v_{2}^{*}&={\frac {1}{2\gamma }}(1+{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&\\\end{aligned}}$

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, $R_{i}(u,v)$. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que $R_{1}(u,v)=-uv^{2}+F(1-u)$ e $R_{2}(u,v)=uv^{2}-(F+k)v$. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

$J_{R}(u,v)={\begin{bmatrix}\partial _{u}R_{1}&\partial _{v}R_{1}\\\partial _{u}R_{2}&\partial _{v}R_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-v^{2}-F&-2uv\\v^{2}&2uv-(F+k)\end{bmatrix}}\quad (6)$

Analisemos a estabilidade para os três pares $(u_{i}^{*},v_{i}^{*})$ de soluções estacionárias:

• Para $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})=(1,0)$:

$J_{R}(u_{0}^{*},v_{0}^{*})={\begin{bmatrix}-F&0\\0&-(F+k)\end{bmatrix}}\quad (7)$

Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores $\lambda _{i}$ são justamente as entradas das diagonais; ou seja, $\lambda _{1}=-F$ e $\lambda _{2}=-(F+k)$. Uma vez que $F$ e $k$ são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})$ é sempre estável.

• Para $(u_{1,2}^{*},v_{1,2}^{*})=\left({\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}}),{\frac {1}{2\gamma }}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})\right)$, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com $v\neq 0$. Desse modo, se dividirmos tal equação por $v$, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

$u_{i}^{*}v_{i}^{*}-(F+k)=0\quad (8)$

Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

$-2u_{i}^{*}v_{i}^{*}=-2(F+k)$

$2u_{i}^{*}v_{i}^{*}-(F+k)=(F+k)$

Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

$J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})={\begin{bmatrix}-(v_{i}^{*})^{2}-F&-2(F+k)\\(v_{i}^{*})^{2}&(F+k)\end{bmatrix}},\quad i=1,2\quad (9)$

Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

$\Delta _{i}:=\operatorname {det} \left(J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})\right)=(F+k)\left[(v_{i}^{*})^{2}-F\right]\quad (10)$

Dividindo por $F(F+k)$:

${\frac {\Delta _{i}}{F(F+k)}}={\frac {(v_{i}^{*})^{2}}{F}}-1=\left[{\frac {1\mp {\sqrt {1-4(\gamma {\sqrt {F}})^{2}}}}{2(\gamma {\sqrt {F}})}}\right]^{2}-1=\left[{\frac {1\mp {\sqrt {1-4a^{2}}}}{2a}}\right]^{2}-1$

onde se definiu $a=\gamma {\sqrt {F}}$ (observação: este é o $\gamma$ definido no Gros). Nota-se que a condição de existência $a^{2}\leq 1/4$ para os dois pontos não-triviais é equivalente a $F\geq 4(F+k)^{2}$. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

${\frac {\Delta _{i}}{F(F+k)}}={\frac {\sqrt {1-4a^{2}}}{2a^{2}}}\left({\sqrt {1-4a^{2}}}\mp 1\right)\quad (11)$

• Para o caso $i=1$ (sinal negativo em (11)), temos a cota superior $1-4a^{2}<1$. Portanto, $\Delta _{1}<0$ para todo $a$ que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais (comentário: como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto $(u_{1}^{*},v_{1}^{*})$ nunca seja estável. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

• Já para $i=2$ (sinal positivo em (11)), temos sempre que $\Delta _{2}>0$. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores $\lambda _{i}$ são complexos, eles serão conjugados e o traço será $\operatorname {Tr} (J_{R})=2\operatorname {Re} (\lambda _{i})$, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável.

No caso, temos que $\operatorname {Tr} (J_{R}(u_{2}^{*},v_{2}^{*}))=k-(v_{2}^{*})^{2}$. Esse traço é negativo quando $(v_{2}^{*})^{2}>k$ e positivo quando $(v_{2}^{*})^{2}<k$; ou seja, $(u_{2}^{*},v_{2}^{*})$ é estável quando $v_{2}^{*}>{\sqrt {k}}$ e instável quando $v_{2}^{*}<{\sqrt {k}}$ (lembrando que $v_{2}^{*}>0$ para todo $F$ e $k$). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando $v_{2}^{*}={\sqrt {k}}$.

Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:

${\frac {F+k}{v_{2}^{*}}}=u_{2}^{*}=1-\gamma v_{2}^{*}=1-{\frac {F+k}{F}}v_{2}^{*}\Rightarrow (F+k){\frac {F+(v_{2}^{*})^{2}}{F}}=v_{2}^{*}$

Substituindo $v_{2}^{*}={\sqrt {k}}$, obteremos ao final:

$(F+k)^{2}=F{\sqrt {k}}\quad (12)$

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz $\left(J_{R}-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u_{i}^{*},v_{i}^{*})}$, em que $D$ é a matriz diagonal cujas entradas são $D_{u}$ e $D_{v}$:

$D={\begin{bmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{bmatrix}}$

Se escrevermos, genericamente, que $J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

$\left(J_{R}-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u_{i}^{*},v_{i}^{*})}={\begin{bmatrix}a-D_{u}\omega ^{2}&b\\c&d-D_{v}\omega ^{2}\end{bmatrix}}$

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo ($\operatorname {det} \left(J_{R}-D\omega ^{2}\right)>0$) e seu traço negativo ($\operatorname {Tr} \left(J_{R}-D\omega ^{2}\right)<0$). Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:

${\begin{aligned}aD_{v}\omega ^{2}+dD_{u}\omega ^{2}-D_{u}D_{v}\omega ^{4}&<\operatorname {det} (J_{R})&\quad (13)\\D_{u}\omega ^{2}+D_{v}\omega ^{2}&>\operatorname {Tr} (J_{R})&\quad (14)\\\end{aligned}}$

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação. Investiguemos, agora, se os estados estacionários que eram estáveis condicional ou incondicionalmente, $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})$ e $(u_{2}^{*},v_{2}^{*})$, permanecem estáveis após a introdução da difusão.

• Para o ponto $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})$, utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

${\begin{aligned}-FD_{v}\omega ^{2}-(F+k)D_{u}\omega ^{2}-D_{u}D_{v}\omega ^{4}&<F(F+k)\\D_{u}\omega ^{2}+D_{v}\omega ^{2}&>-2F-k\\\end{aligned}}$

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})$ é sempre estável, inclusive na presença de difusão.

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing). Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})=(1,0)$ existir.

Implementação

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, Modelo de Turing), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função $f(x,y,t)$:

${\frac {\partial f}{\partial t}}\approx {\frac {f(x,y,t+\Delta t)-f(x,y,t)}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\approx {\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

$\nabla ^{2}f(x,y,t)\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções $x$ e $y$, ou seja, fazendo $\Delta x=\Delta y=\Delta h$, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(x,y,t)\approx {\frac {1}{\Delta h^{2}}}\left[f(x+\Delta h,y,t)+f(x-\Delta h,y,t)+f(x,y+\Delta h,t)+f(x,y-\Delta h,t)-4f(x,y,t)\right]$

Usando a notação $f(x_{i},y_{j},t_{n})\equiv f_{i,j}^{n}$ e definindo as separações de pontos como $t_{n+1}=t_{n}+\Delta t$, $x_{i+1}=x_{i}+\Delta h$, $y_{j+1}=y_{j}+\Delta h$, fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

${\begin{aligned}u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}&+\left[-u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}+F(1-u_{i,j}^{n})+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t\\v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}&+\left[u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}-(F+k)v_{i,j}^{n}+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t\\\end{aligned}}$

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho $69\times 69$. O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial $(u,v)=(1,0)$, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com $(u,v)=(0,1)$. Foram usadas condições de fronteira conforme a Figura 1.

Figura 1 - Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados por U (Up), D (Down), L (Left), R (Right). Na Figura 1, o elemento $1$, possui os vizinhos $U=D=5$, $R=L=6$; o elemento $2$ possui como vizinhos $U=1$, $R=L=9$ e $D=10$; o elemento $3$ tem vizinhos $U=D=7$, $R=1$ e $L=8$; e, finalmente, os vizinhos de $4$ são $U=3$, $D=12$, $L=11$ e $R=2$.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.

Resultados e discussão

As simulações abaixo reproduzem duas condições simuladas por Sayama.

Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração $u$, com $(D_{u},D_{v})=(2\times 10^{-5},10^{-5})$. A concentração é maior nas áreas mais claras.
Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.015,0.055)$, de t=0 até t=2000.	Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.02,0.05)$, de t=0 até t=2000.

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama, entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo alguns exemplos:

Figura 2. Exemplos de outras simulações realizadas.

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como $100\times 100$, por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência dos padrões formados em relação à resolução espacial, $\Delta h$.

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

Figura 3. Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott. $F$ está no eixo das ordenadas, $k$ no eixo das abcissas. Ver a seção Análise de Estabilidade. A linha sólida é a curva $F=4(F+k)^{2}$.

Na Figura 3 é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva $F=4(F+k)^{2}$, próximo à saliência, no intervalo $0.07<k<0.04$ e $0.015<F<0.06$. Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição $F>4(F+k)^{2}$, ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial $(u,v)=(1,0)$. Como esse estado é sempre estável (ver Análise de Estabilidade), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões no modelo de Gray-Scott. Não foi possível encontrar na literatura uma explicação para a formação de padrões nesse modelo.

Ainda em relação à Figura 3, o ponto em vermelho, com $(k,F)=(0.06,0.1)$, é um exemplo em que a taxa de alimentação de $u$ é muito grande em relação à taxa de eliminação ($F+k$) de $v$, de modo que, para tempos longos, não há formação de padrões: o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial $(u,v)=(1,0)$ em todos os pontos. De outro lado, o ponto em preto, com $(k,F)=(0.03,0.02)$, é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação ($F+k$) de $v$ é muito grande em relação à taxa de alimentação de $u$, de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado de equilíbrio que se atinge é tal que a concentração de $u$ é próxima de $0$.

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson. Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências (INCLUIR REFERÊNCIA). A classificação leva em consideração a formação de padrões complexos para tempos longos, em que o sistema atinge equilíbrio.

Programa

Simulação do Modelo de Gray-Scott

Bibliografia

• C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
• H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.