Modelo de Gray-Scott

Grupo: Paula Pandolfo, Ramiro de Souza e Wallace Carvalho

Objetivo: Este trabalho tem como objetivo principal implementar numericamente o modelo de Gray-Scott bidimensional, um tipo particular de sistema de reação-difusão, a fim de ilustrar, entre outras características, a emergência da complexidade através de equações de relativa simplicidade matemática. Para isso, primeiramente, será introduzida a formalidade do modelo: suas equações diferenciais e seus estados estacionários. Analisar-se-ão, também, as condições em que tais estados são estáveis ou não, e se aqueles que forem estáveis assim permanecem após a introdução de processos difusivos. Os resultados da implementação serão comparados com aqueles obtidos por uma das referências principais, Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems, por Hiroki Sayama. A comparação mostrará uma boa concordância qualitativa, apesar de ficarem também perceptíveis discrepâncias com as simulações feitas por Sayama, indicando, possivelmente, uma alta sensibilidade dos resultados com a resolução e/ou condições iniciais utilizadas.

Introdução

Sistemas de reação-difusão são modelos matemáticos de grande importância, que podem ser aplicados a múltiplas situações. Sua principal aplicação, como o nome sugere, é na descrição da cinética química; mais especificamente, em como evoluem no tempo as concentrações de múltiplas substâncias em cada ponto do espaço, dado um determinado conjunto de reações associadas a essas espécies químicas que, ademais, também podem se difundir no meio. As equações diferenciais que descrevem tal sistema são um conjunto de equações em que a variação temporal das concentrações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{i}} depende de termos de reação (funções $R_{i}$ associadas às reações químicas e à reposição ou não das espécies envolvidas) e de difusão (termos proporcionais ao laplaciano $\nabla ^{2}f_{i}$ ):^[1]

{\begin{aligned}{\frac {\partial {f_{1}}}{\partial {t}}}&=&R_{1}(f_{1},f_{2},...,f_{n})+D_{1}\nabla ^{2}f_{1}\\{\frac {\partial {f_{2}}}{\partial {t}}}&=&R_{2}(f_{1},f_{2},...,f_{n})+D_{2}\nabla ^{2}f_{2}\\&...&\\{\frac {\partial {f_{n}}}{\partial {t}}}&=&R_{n}(f_{1},f_{2},...,f_{n})+D_{n}\nabla ^{2}f_{n}\\\end{aligned}}

Sistemas descritos por equações como essas oferecem uma descrição matemática relativamente simples, com separação clara entre dinâmica não espacial e espacial, sendo a última ainda mais facilitada por ser descrita apenas por um termo laplaciano, que simplifica incorporar difusão a um problema que, inicialmente, possui apenas termos de reação. Além disso, a forma das equações atalha a análise de estabilidade, obtida através da matriz Jacobiana dos termos de reação.^[1]

Dentre as mais diversas possibilidades de reações químicas e reagentes envolvidos, vamos estudar um caso simples: o modelo de Gray-Scott. Este modelo foi primeiramente introduzido por Peter Gray e Steve Scott entre os anos de 1983 e 1985,^[2]^[3]^[4] e foi popularizado por John Pearson nos anos 1990.^[5] Como Pearson sugere já no título de seu texto ("Padrões Complexos em um Sistema Simples", em português), tal dinâmica de reação-difusão produz, a partir de um modelo matematicamente simples, um conjunto variado de padrões complexos, não dessemelhantes àqueles encontrados na evolução de células biológicas,^[5]^[6] sendo, portanto, de profundo interesse enquanto exemplo de emergência de complexidade na natureza.

Descrição do modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis $u$ e $v$ , a reação pode ser representada como

u+2v\to 3v

Isso significa que uma molécula da substância $u$ é transformada em uma molécula da substância $v$ por meio da ação de outras duas moléculas da substância $v$ , ou seja, $v$ é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise).^[6] Além dessa reação, ambas as substâncias difundem-se pelo meio (por isso este modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, dessa forma, as concentrações $u$ e $v$ mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., $3v\to u+2v$ ) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais abaixo:^[6]

{\begin{aligned}{\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}&=-uv^{2}+F(1-u)+D_{u}\nabla ^{2}u\\{\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}&=uv^{2}-(F+k)v+D_{v}\nabla ^{2}v\quad (1)\\\end{aligned}}

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma: em um dado ponto, a variação na concentração $u$ aumenta proporcionalmente ao laplaciano de $u$ naquele ponto — ou seja, quando a concentração $u$ na vizinhança desse ponto é alta —, e proporcionalmente à taxa $F$ de reposição de $u$ (taxa de alimentação, ou feed rate); a concentração $u$ diminui com o termo reativo $-uv^{2}$ , que representa a reação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u + 2v \to 3v} .

Já na segunda equação, a concentração Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} aumenta com o termo reativo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle uv^2} e também proporcionalmente ao laplaciano de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} naquele ponto, mas diminui com a remoção de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} a uma taxa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k} , mais rápida, portanto, do que a reposição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} .

Assim, tem-se que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} .

Uma maneira de compreender esse sistema é imaginá-lo como consistindo de duas substâncias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , mas não da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , e permite a saída da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , mas não da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} .^[7]

Análise de estabilidade linear

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k} e dos coeficientes de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}, D_{v}} das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0} nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u} = D_{v} = 0} ), obtém-se o seguinte sistema de equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} - & uv^2 + F(1-u) = 0\\ & uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\ \end{align}}

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v \quad (3) }

onde definiu-se o parâmetro auxiliar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F+k}{F}} .

Substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k =\gamma F} ), ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0 \quad (4)}

Evidentemente, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = 0} é solução dessa equação, implicando em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = 1} , como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq 0} , podemos dividir (4) por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , ficando com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\gamma v^2 + v - \gamma F = 0} . Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - 4\gamma^2 F \geq 0} ). Por consequência:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2} , para que existam as soluções não-triviais.

Nesse caso, então, há três soluções estacionárias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} do sistema:^[8]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} & = 0 & \\ & u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} & = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) &\quad (5) \\ & u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} & = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & \\ \end{align}}

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i}(u,v)} . Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v} . A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix} \quad (6)}

Analisemos a estabilidade para os três pares Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{i},v^{*}_{i})} de soluções estacionárias:

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix} \quad (7)}

Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{i}} são justamente as entradas das diagonais; ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{1} = -F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{2} = -(F+k)} . Uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0})} é sempre estável.

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{1,2},v^{*}_{1,2}) = \left(\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}), \frac{1}{2\gamma}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})\right)} , podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq 0} . Desse modo, se dividirmos tal equação por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , percebemos que ambos os pontos obedecem a:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = 0 \quad (8)}

Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2u^{*}_{i} v^{*}_{i} = -2(F+k)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2u^{*}_{i} v^{*}_{i} - (F+k) = (F+k)}

Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} -(v^{*}_{i})^2 - F & -2(F+k)\\ (v^{*}_{i})^2 & (F+k)\end{bmatrix}, \quad i = 1,2 \quad (9)}

Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{i} := \operatorname{det}\left(J_{R}(u^{*}_{i},v^{*}_{i})\right) = (F+k)\left[(v^{*}_{i})^2 -F \right] \quad (10)}

Dividindo por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(F+k)} :^[8]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{(v^{*}_{i})^2}{F} -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F})^2}}{2(\gamma \sqrt{F})} \right]^2 -1 = \left[\frac{1 \mp \sqrt{1-4a^2}}{2a} \right]^2 -1}

onde se definiu Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \gamma \sqrt{F}} (observação: este é o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} definido no Gros^[8]). Nota-se que a condição de existência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \leq 1/4} para os dois pontos não-triviais é equivalente a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \geq 4(F+k)^2} . Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\Delta_{i}}{F(F+k)} = \frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2} \left(\sqrt{1-4a^2} \mp 1\right) \quad (11)}

Figura 1: Diagrama de fase do termo de reação do modelo de Gray-Scott. A linha azul mais externa corresponde a equação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = 4 (F+k)^2} , que separa as regiões onde os estados estacionários não-triviais existem (esquerda da linha) e não existem (direita da linha). A linha vermelha, caracterizada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F+k)^2 = F \sqrt{k}} separa a região interna à linha azul em duas partes: uma maior, onde o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2}, v^{*}_{2})} é estável, e outra menor, onde ele é instável. Por fim, a linha verde separa as regiões em que esse ponto é um nó (esquerda da linha) ou um foco (direita da linha), a depender do sinal de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 - 4 \operatorname{det}(J_{R})} . Ressalta-se que o encontro das linhas azul e vermelha ocorre em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1/16, 1/16)} , sendo o ponto em que os estados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{1}, v^{*}_{1})} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2}, v^{*}_{2})} tornam-se o mesmo estado (quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-4a^2=0} ).^[9]

Para o caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 1} (sinal negativo em (11)), temos a cota superior Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-4a^2 < 1} . Portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{1} < 0} para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais (comentário: como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{1}, v^{*}_{1})} nunca seja estável. Assim, esse ponto sempre será um ponto de sela.^[8] Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

Já para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 2} (sinal positivo em (11)), temos sempre que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{2} > 0} . Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{i}} são complexos, eles serão conjugados e o traço será Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Tr}(J_{R}) = 2 \operatorname{Re}(\lambda_{i})} , de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável. No caso, temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Tr}(J_{R}(u^{*}_{2},v^{*}_{2})) = k - (v^{*}_{2})^2}

Esse traço é negativo quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v^{*}_{2})^2 > k} e positivo quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v^{*}_{2})^2 < k} ; ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2}, v^{*}_{2})} é estável quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{*}_{2} > \sqrt{k}} e instável quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{*}_{2} < \sqrt{k}} (lembrando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{*}_{2} > 0} para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{*}_{2} = \sqrt{k}} .

Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:^[8]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{F+k}{v^{*}_{2}} = u^{*}_{2} = 1 - \gamma v^{*}_{2} = 1 - \frac{F+k}{F} v^{*}_{2} \Rightarrow (F+k)\frac{F+ (v^{*}_{2})^2}{F} = v^{*}_{2}}

Substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{*}_{2} = \sqrt{k}} , obteremos ao final:^[8]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F+k)^2 = F \sqrt{k} \quad (12)}

Que é uma relação entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} que caracteriza a fronteira de estabilidade para o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2},v^{*}_{2})} .

Como um fato adicional, podemos separar quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2},v^{*}_{2})} é um nó estável (stable node) de quando ele é um foco estável (stable focus). Um nó estável ocorre quando os autovalores da matriz jacobiana forem reais, enquanto o foco ocorrem quando forem complexo-conjugados. Sabendo que os autovalores podem ser escritos como^[10]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{\pm} = \frac{\operatorname{Tr}(J_{R}) \pm \sqrt{(\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 -4 \operatorname{det}(J_{R})}}{2}}

Vemos que a fronteira entre nó e foco para o ponto é caracterizada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\operatorname{Tr}(J_{R}))^2 = 4 \operatorname{det}(J_{R})} . O resultado de todas essas fronteiras é o diagrama de fases da Figura 1, baseado no gráfico feito por Gros.^[9]

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})}} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal cujas entradas são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} :^[11]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D = \begin{bmatrix} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{bmatrix}}

Se escrevermos, genericamente, que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u^{*}_{i}, v^{*}_{i}) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}} , teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J_{R} - D \omega^2\right)\Bigg|_{(u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} = \begin{bmatrix} a - D_{u}\omega^2 & b \\ c & d - D_{v}\omega^2 \end{bmatrix}}

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{det}\left(J_{R} - D \omega^2\right) > 0} ) e seu traço negativo (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Tr}\left(J_{R} - D \omega^2\right) < 0} ).^[12] Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:^[11]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a D_{v}\omega^2 + d D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < \operatorname{det}(J_{R}) & \quad (13)\\ D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > \operatorname{Tr}(J_{R}) & \quad(14)\\ \end{align}}

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.^[11] Para este trabalho, interessa-nos apenas verificar se o estado estacionário Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0})} permanece estável após a introdução da difusão. Dispensaremos a análise do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{2},v^{*}_{2})} , pois nossas simulações não o incluirão como ponto estável, nem mesmo desconsiderando difusão.

Para o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0})} , utilizamos a matriz (7), obtendo as seguintes desigualdades:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} -FD_{v}\omega^2 -(F+k) D_{u}\omega^2 - D_{u} D_{v}\omega^4 & < F(F+k)\\ D_{u}\omega^2 + D_{v}\omega^2 & > -2F-k \\ \end{align}}

Que são, evidentemente, satisfeitas, por análise simples de sinais de cada lado. Portanto, conclui-se que o ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0})} é sempre estável, inclusive na presença de difusão.

Esse é um resultado, à primeira vista, surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).^[13] Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não-triviais neste modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0}, v^{*}_{0}) = (1, 0)} existir,^[14] como veremos nas simulações da seção de resultados.

Implementação numérica

O método usado para integrar as equações diferenciais parciais do modelo foi o FTCS (Foward Time Central Space). Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, Modelo de Turing), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente (isto é, levando em consideração os pontos adjacentes ao ponto em que ela é calculada). Para uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y,t)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(x, y, t + \Delta t) - f(x, y, t)}{\Delta t}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x, y + \Delta y,t) - 2f(x,y,t) + f(x, y - \Delta y,t)}{\Delta y^2}}

Das duas últimas equações acima, é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, presente nas equações do sistema (1) deste trabalho, pode ser escrito como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{f(x + \Delta x, y, t) - 2f(x, y, t) + f(x - \Delta x, y, t)}{\Delta x^2} + \frac{f(x, y + \Delta y, t) - 2f(x, y, t) + f(x, y - \Delta y, t)}{\Delta y^2}}

Utilizando passos de mesmo tamanho nas direções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , ou seja, fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x = \Delta y = \Delta h} , pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 f(x,y,t) \approx \frac{1}{\Delta h^2} \left[f(x + \Delta h, y, t) + f(x - \Delta h, y, t) + f(x, y + \Delta h,t) + f(x, y - \Delta h,t) - 4f(x, y, t) \right]}

Usando a notação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_{i}, y_{j}, t_{n}) \equiv f^{n}_{i, j}} e definindo as separações de pontos como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{n+1} = t_{n} + \Delta t} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{i+1} = x_{i} + \Delta h} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{j+1} = y_{j} + \Delta h} , fica possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} & + \left[ -u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} + F(1-u_{i,j}^{n}) + D_u\frac{u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\ v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} & + \left[ u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2} - (F+k)v_{i,j}^{n} + D_v\frac{v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^2}\right]\Delta t\\ \end{align}}

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 69 \times 69} . O estado inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u, v) = (1, 0)} , exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u, v) = (0, 1)} .

Foram usadas condições de fronteira totalmente periódicas. Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos, denominados U (Up), D (Down), L (Left), R (Right). Na Figura 2, o elemento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} , possui os vizinhos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=2} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=6} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=31} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=7} ; o elemento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6} possui como vizinhos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=1} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=5} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=36} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=12} ; o elemento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 31} tem vizinhos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=32} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=36} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=25} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=1} ; e, finalmente, os vizinhos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 36} são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=31} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=35} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=30} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=6} .

Figura 2 - Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.

Resultados e discussão

As simulações abaixo reproduzem algumas condições simuladas por Sayama.^[15]

Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})} . A concentração é maior nas áreas mais claras.
Concentração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.055, 0.015)} , de t=0 até t=2000.	Concentração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.05, 0.02)} , de t=0 até t=2000.

Simulações do Modelo de Gray-Scott para a concentração Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})} . Nos dois casos abaixo, a concentração é menor nas áreas mais claras.
Concentração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.055, 0.030)} , de t=0 até t=2000.	Concentração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.060, 0.030)} , de t=0 até t=2000.

Em geral, todas as simulações apresentaram boa concordância qualitativa com os padrões simulados por Sayama;^[15] entretanto, as imagens não são isomorficamente equivalentes. Seguem abaixo mais exemplos de simulações:

Figura 3. Amostragem de simulações realizadas da concentração Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , para diversos valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , em diversos tempos, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (D_u, D_v) = (2\times10^{-5}, 10^{-5})} . As imagens apresentam concentração maior de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} nas áreas mais claras. Os números sequenciais (1, 2, 3, ..., 16) se referem aos pontos no diagrama de fases da Figura 4. Tentou-se, sempre que possível, mostrar o comportamento dos sistemas nos mesmos tempos, exceto onde destacado em vermelho. A escolha de tempos diferentes nesses casos é meramente para melhor representar o comportamento dinâmico do sistema, não se tentou mascarar nenhum resultado. Na simulação 4, para tempos grandes, a dinâmica do sistema é muito instável e os pontos estão sempre em transformação, apagando, ressurgindo e formando padrões. Nas simulações 15 e 16, os pontos apenas começam a se multiplicar para tempos grandes.

Uma explicação possível para as discrepâncias observadas é o tamanho do grid utilizado e a aplicação das condições iniciais. Possivelmente, Sayama usou um grid de tamanho par, como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 100 \times 100} , por exemplo, e escolheu dois ou quatro pontos no centro da matriz como condição inicial. Como se trata da simulação de um sistema não linear, os resultados são muito sensíveis às condições iniciais. Além disso, observamos uma forte dependência de alguns padrões formados em relação à resolução espacial, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta h} , e em relação à resolução temporal, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} (os valores que utilizamos no programa mostraram a melhor concordância com o comportamento qualitativo conhecido nos pontos testados).

Segue abaixo uma amostragem de algumas simulações realizadas e suas posições no diagrama de fases do modelo:

Figura 4. Diagrama de fases do modelo de Gray-Scott com amostragem de pontos simulados, conforme a Figura 3 e a Tabela 1. As curvas são as mesmas da Figura 1 (ver [1]).

Na Figura 4 é possível observar que a grande maioria das condições que geram padrões complexos está na vizinhança da curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=4(F+k)^{2}} , próximo à saliência, no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.07<k<0.04} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.015<F<0.06} .

Nota-se que, de fato, muitos padrões são gerados com a condição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F<4(F+k)^{2}} (à direita da curva azul), ou seja, na região onde o único estado de equilíbrio é o estado trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u, v) = (1, 0)} . Como esse estado é sempre estável (ver [2]), independentemente dos valores dos coeficientes de difusão, a instabilidade de Turing não explica a formação de padrões nesses casos.

Ainda em relação à Figura 4, o ponto em vermelho (classificado como "R" por Pearson^[5]), com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.06, 0.1)} , é um exemplo em que a taxa de alimentação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} é muito grande em relação à taxa de eliminação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k} ) de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , de modo que o sistema rapidamente atinge o equilíbrio trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u, v) = (1, 0)} em todos os pontos. De outro lado, o ponto em azul (classificado como "B" por Pearson^[5]), com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k, F) = (0.03, 0.02)} , é um exemplo contrário, em que a taxa de eliminação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k} ) de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é muito grande em relação à taxa de alimentação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , de modo que, para tempos longos, também não há formação de padrões, mas o estado que se atinge é tal que a concentração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} é próxima de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} .

O modelo de Gray-Scott é reconhecido por exibir grande riqueza de padrões. Esses padrões foram originalmente classificados por Pearson.^[5] Uma classificação aprimorada, mais recente, pode ser encontrada nas referências.^[16] A classificação, de acordo com letras do alfabeto grego (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} , etc), leva em consideração a dinâmica e a formação de padrões complexos estáveis ou não para tempos longos, em que os sistemas, para dadas condições, atingem uma espécie de equilíbrio. Alguns dos padrões formados são linhas (stripes), manchas, pontos, padrões hexagonais. Essas formas estão em constante transformação por um período, interagindo umas com as outras, dividindo-se, mesclando-se. Eventualmente, dependendo das condições, alguns sistemas atingem um padrão estável; outros nunca se estabilizam. Alguns são mais lentos, outros mais rápidos. Por exemplo, padrões do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} levam muito tempo para se formar (não conseguimos observar padrões desse tipo). Outros sistemas dependem muito mais do que outros do tamanho do grid e das condições iniciais (por exemplo, sistemas do tipo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi} , que também não conseguimos observar).

Tabela 1. Relação entre os pontos simulados e a classificação apresentada na referência.^[16]

A Tabela 1 é uma tentativa de classificar os resultados observados nas simulações de acordo com a padronização normalmente adotada. A descrição é informal e relata parcialmente o que foi observado. Obviamente pode conter erros, mas demonstra, no geral, que a simulação conseguiu reproduzir o comportamento qualitativo esperado dos pontos mostrados no espaço de fases da Figura 4, o que é um resultado notável para um método tão simples como o FCTS, com um grid pequeno e tempo/recurso computacional limitados.

Programa

Simulação do Modelo de Gray-Scott

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 Sayama, p. 259
↑ P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.
↑ P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.
↑ P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. PDF
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Sayama, p. 266
↑ Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 Gros, p. 113
↑ ^9,0 ^9,1 Gros, p. 114
↑ Sayama, p. 123
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 Sayama, pp. 287-289
↑ Sayama, p. 124
↑ Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)
↑ Gros, p. 115
↑ ^15,0 ^15,1 Sayama, p. 268
↑ ^16,0 ^16,1 Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values

Bibliografia principal

C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[Sayama259-1] 1,0 ^1,1 Sayama, p. 259

[GS1-2] P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability,” Chemical Engineering Science, vol. 38, no. 1, pp. 29–43, 1983.

[GS2-3] P. Gray and S. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A+2B → 3B; B → C,” Chemical Engineering Science, vol. 39, no. 6, pp. 1087–1097, 1984.

[GS3-4] P. Gray and S. Scott, “Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions,” Journal of Physical Chemistry, vol. 89, no. 1, pp. 22–32, 1985.

[Pearson-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system,” Science, vol. 261, no. 5118, pp. 189–192, 1993. PDF

[Sayama266-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 Sayama, p. 266

[reaction-difusion-7] Reaction-Diffusion by the Gray-Scott Model: Pearson's Parametrization

[Gros113-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 Gros, p. 113

[Gros114-9] 9,0 ^9,1 Gros, p. 114

[Sayama123-10] Sayama, p. 123

[Sayama287-289-11] 11,0 ^11,1 ^11,2 Sayama, pp. 287-289

[Sayama124-12] Sayama, p. 124

[biology-13] Week 13, MCB111: Mathematics in Biology (Fall 2021)

[Gros115-14] Gros, p. 115

[Sayama268-15] 15,0 ^15,1 Sayama, p. 268

[pearson_classification-16] 16,0 ^16,1 Pearson's Classification (Extended) of Gray-Scott System Parameter Values

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Modelo de Gray-Scott

Índice

Introdução

Descrição do modelo

Análise de estabilidade linear

Soluções estacionárias sem difusão

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Implementação numérica

Resultados e discussão

Programa

Referências

Bibliografia principal

Menu de navegação

Modelo de Gray-Scott

Introdução

Descrição do modelo

Análise de estabilidade linear

Soluções estacionárias sem difusão

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Implementação numérica

Resultados e discussão

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