Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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Esses estados são de equilíbrio quando <math>F\geq4(F+k)^2</math>.
Esses estados são de equilíbrio quando <math>F\geq4(F+k)^2</math>.


== Referências ==


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Edição das 14h23min de 19 de fevereiro de 2022

Análise de estabilidade

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros e dos coeficientes de difusão . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em .

Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em .

Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com e e fazendo , temos



É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando .

Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de , e . É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz



Aqui, é a matriz jacobiana dos termos de reação, é a matriz diagonal dos termos de difusão e é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em



Para que o estado de equilíbrio seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então



Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de , e . Portanto, o estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.

Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de , e , devem então existir outros estados de equilíbrio e pelo menos um deles deve ser instável para determinados valores dos parâmetros. De fato, há outros dois estados de equilíbrio.[2]

Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, ditos não triviais, são e , com



Esses estados são de equilíbrio quando .

Referências

  1. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.