Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz
<math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>
Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>
<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u,v) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>
Para que o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então
<math>(F+D_{u}\omega^2)(F+k+D_{v}\omega^2) > 0</math>
<math>-2F - (D_{u}+D_{v}\omega^2) - k < 0</math>
Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.
Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois.


==Teste==
==Teste==

Edição das 12h41min de 19 de fevereiro de 2022

Análise de estabilidade

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros e dos coeficientes de difusão . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em .

Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em .

Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com e e fazendo , temos



É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando .

Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de , e . É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz



Aqui, é a matriz jacobiana dos termos de reação, é a matriz diagonal dos termos de difusão e é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em



Para que o estado de equilíbrio seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então



Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de , e . Portanto, o estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.

Como o modelo claramente exibe padrões complexos para diversos valores positivos de , e , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois.

Teste

  1. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.