Modelo Brusselator de Reação-Difusão

De Física Computacional
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Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

Figura 1: Variação da concentração em um recipiente de 100x100. Áreas em amarelo correspondem a uma grande quantidade de reagente U.

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizam reações de reação-difusão. Um dos modelos mais utilizados é o modelo de Brusselator, que é utilizado para descrever o mecanismo químico de reação-difusão com oscilações não lineares. [1]. Turing [ref?] observou que quando determinadas reações são associadas a difusão, é possível obter um padrão espacial estável, e isso leva a teoria de morfogênese. Além de processos de reação-difusão, o modelo Brusselator é observado em reações enzimáticas e na física de plasma e de lasers.

O mecanismo de Brusselator proposto por Prigogine (1970) é dado por [I. Prigogine, R. Lefever, Symmetries breaking instabilities in dissipative systems II. J. Phys. Chem. 48, 1695–1700 (1968)]:

(1.a)
(1. b)
(1.c)
(1.d)

Onde U e V são as espécies químicas de interesse. Assumimos A e B em excesso para que o sistema não atinja o equilíbrio. Esse sistema químico foi importante para o avanço na área de sistemas complexos porque possibilita o uso de modelos matemáticos de duas dimensões, já que U e V são variáveis dependentes, e admite “limit-cycle oscilations”. [ R. Lefever and G. Nicolis, Chemical instabilities and sustained oscillations, J. Theor. Biol. 30 (1971) 267.].

As equações diferenciais parciais associadas com o sistema Brusselator são dadas por(G. Adomian, The diffusion-Brusselator equation. Comput. Math. Appl. 29, 1–3 (1995)):

onde e são as concentrações a serem investigadas em função de tempo e espaço, e são constantes relativas às concentrações dos reagentes A e B, e e constantes de difusão.

A solução analítica do sistema reação-difusão Brusselator ainda não é conhecida e por isso há o interesse de explorá-la numericamente.

Análise da estabilidade do sistema

Análise de ponto crítico

Considerando o sistema livre de difusão, quando :


Onde e e e são constantes positivas e reais. A matriz jacobiana no ponto crítico é dada por


Os autovalores de são os valores que satisfazem a equação caracterísitca

Os autovalores claramente mostram dependência em e no determinante . Esses autovalores governam a estabilidade do ponto crítico ou determinam a existência de um ciclo limite. As propriedades de estabilidade ou a existência de um ciclo limite estão sumarizadas na tabela abaixo, em relação a figura 1.

[[Arquivo:]]

Utilizando a teoria Hopf, é mostrado que o ponto crítico perde sua estabilidade quando A e B movem da região 2 para região 3, na figura 1, atravessando a curva . Uma bifurcação Hopf ocorre quando ao passo que essa curva é atravessada e um ciclo limite estável existe para A e B nas regiões 1 e 2, mas não para A e B nas regiões 3 e 4.

Conclui-se que a curva governa a estabilidade do sistema.


Análise de ponto fixo

O estado estacionário do sistema pode ser encontrado igualando o coeficiente de difusão, e portanto as derivadas parciais, a zero. Percebe-se que esse sistema converge para os pontos fixos:

Em [twizell] a manipulação da matriz jacobiana nos pontos fixos resulta nos seguintes autovalores


Onde fica claro que os denominadores dos autovalores são sempre positivos quando and . As inequações

e

São verdadeiras sempre que . Portanto, uma condição suficiente para o ponto fixo atrair a sequência gerada pelo sistema é .

Ainda em [Twizell] o modelo reação-difusão Brusselator foi discretizado e a análise dos pontos fixos concluiu que o sistema converge para e , sendo esse o único estado estacionário do sistema.

Concluiu que também que o sistema apresenta estado oscilatório quando

Estado em que o sistema não converge para nenhum ponto.


Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:


Substituindo nas equações do Brusselator

onde e são as funções que representam a reação sem difusão.


Utilizamos discretização do tipo


Utilizando a notação , assumindo e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como


onde e .

Análise de estabilidade

A análise de estabilidade do método FTCS pode ser feita com a análise local de von Neumann. Para isso precisamos linearizar as equações do modelo Brusselator e escrever as soluções em modos de Fourier, da seguinte forma:

Para que o método seja estável, é preciso que . Após inserir as soluções nas equações linearizadas e realizar manipulações algébricas, como feito por Scholz (2009)[2], obtemos

onde

e

Os valores e satisfazem a condição de estabilidade, como mostrado em [2].

Implementação

O método foi implementado em Python, utilizando , variando as constantes e e as condições iniciais do problema. A seguir, o trecho do código relativo à implementação do método. O código completo, com a geração dos gráficos, encontra-se em [1]

import numpy as np

# Constantes
Nx = Ny = 50
a = 1
b = 1.7
Du = 0.1
Dv = 1
t_max = 40
dt = 0.1
ds = 1

ku = Du * dt / (ds ** 2)
kv = Dv * dt / (ds ** 2)

# Valores iniciais
u0 = 1
v0 = 2
t = 0


def f(u, v):
    return a - (b + 1) * u + u * u * v



def g(u, v):
    return b * u - u * u * v


# vetores no tempo n
u_n = np.zeros((Nx, Ny))
v_n = np.zeros((Nx, Ny))

# vetores no tempo n+1
u_n1 = np.zeros((Nx, Ny))
v_n1 = np.zeros((Nx, Ny))

# Condições iniciais (u e v distribuidos aleatoriamente no espaço
for _ in range(randint(int(Nx / 5), Nx)):
    u_n[randint(0, size), randint(0, size)] = u0
for _ in range(randint(int(Nx / 5), Nx)):
    v_n[randint(0, size), randint(0, size)] = v0

# FTCS
while t < t_max:
    for i in range(Nx):
        i_e = (i - 1) % Nx  # vizinho a esquerda de 0 é o da ultima posicao
        i_d = (i + 1) % Nx  # vizinho a direita da ultima posicao é o zero

        for j in range(Ny):
            j_e = (j - 1) % Ny
            j_d = (j + 1) % Ny

            u_n1[i, j] = u_n[i, j] + dt * f(u_n[i, j], v_n[i, j]) + ku * (u_n[i_e, j] + u_n[i_d, j] + u_n[i, j_e] + u_n[i, j_d] - 4 * u_n[i, j])
            v_n1[i, j] = v_n[i, j] + dt * g(u_n[i, j], v_n[i, j]) + kv * (v_n[i_e, j] + v_n[i_d, j] + v_n[i, j_e] + v_n[i, j_d] - 4 * v_n[i, j])

    # atualizar u_n e v_n
    for i in range(Nx):
        for j in range(Ny):
            u_n[i, j] = u_n1[i, j]
            v_n[i, j] = v_n1[i, j]

    t += dt


Resultados

Esta seção se dedica ao resultados da simulação, utilizando valores de constantes de outros artigos como o [Nome do artigo e referência]. As constantes utilizadas foram identificadas na próxima subseção, com exceção nos gráficos em que indicamos outros valores. As simulações mostram o caráter oscilatório do Brusselator ao longo do tempo e também como se da a reação e difusão em um recipiente em duas dimensões. O código utilizado (incompleto) estará logo após a seção de resultados.

Definindo Constantes

Durante as simulações em 2D foram utilizados no código:


Tabela de Constantes e Valores
Símbolo Nome Valor
Dimensão analisada ao longo do eixo x. 50
Dimensão analisada ao longo do eixo y. 50
Constante relativa à concentração do reagente A. 1
Constante relativa à concentração do reagente B. 1.7
Constante de difusão do reagente U. 0.5
Constante de difusão do reagente V. 1
Concentração de u no tempo inicial (t=0). 1
Concentração de v no tempo inicial (t=0). 2
Passo de tempo entre iterações. 0.1
Unidade de avanço dos eixos no espaço. 1


As posições das condições iniciais foram escolhidas arbitrariamente, tendo um total de 6 modos que serão explicados logo à frente, sendo eles:

  1. Condição em formato do sinal "+".
  2. Condição de borda.
  3. Condição aleatória.
  4. Condição de nove pontos centrais.
  5. Condição da borda completa.

Simulação

No gráfico abaixo podemos notar o caráter ondulatório da variação da concentração ao longo do tempo, as linhas (azul e vermelho) significam a taxa de concentração no recipiente.

Note que quando diminui, aumenta rapidamente, mantendo-se um ciclo oscilatório em que a amplitude da onda de e vão diminuindo ao longo do tempo, como mostrado nas figuras.

Figura 1: Gráfico de concentrações.

Pensando no gráfico da reação-difusão como ondas, é correto afirmar que ambas juntas formam um padrão de interferência destrutivo. A animação abaixo mostra exatamente este comportamento, observando o reagente no gráfico da direita. Note que quando o ponto do gráfico da esquerda chega ao mínimo local, o valor de é alto e o de muito baixo, fazendo com que o gráfico da direita fique muito amarelo (amarelo significa uma alta concentração de sendo formada).

Figura 2:: Comportamento do reagente.



Condições Iniciais

Para observar melhor os resultados, foram feitas diversas condições iniciais que foram separadas em tópicos citados em Definindo Constantes.

Levando em consideração que u_n é um array de tamanho por .

Condição em Formato do Sinal "+"

O reagente é distribuído no centro formando um sinal de "+".

Figura 3:: Comportamento em formato de "+" para o reagente u. Para o reagente v foi utilizado a condição de borda.
# u_n [Nx, Ny]

# Centro
u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2)] = u0


# Lateral do sinal
#       X                   Y
u_n[int(Nx / 2) + 1, int(Ny / 2)] = u0
u_n[int(Nx / 2) - 1, int(Ny / 2)] = u0


# Altura do sinal
#       X                   Y
u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2) + 1] = u0
u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2) - 1] = u0

Condição de borda

O reagente foi distribuído nos 4 cantos do recipiente.

Figura 4:: Analisando u com condição de borda "+". Para o reagente v foi utilizado a condição de borda. Foi utilizado b=3 para mostrar a diferença na simulação.
# u_n [Nx, Ny]

# Sup Esq
v_n[0, 0] = v0


# Sup Dir
v_n[0, Nx - 1] = v0


# Inf Esq
v_n[Nx - 1, 0] = v0


# Inf Dir
v_n[Nx - 1, Nx - 1] = v0

Condição aleatória

Os reagentes são aleatoriamente distribuídos ao longo do recipiente, a quantidade de focos de reagente também é aleatória para e .

Figura 5:: Posição aleatória.
from random import *

# u_n [Nx, Ny]

aleatorio = randint(int(Nx / 5)


# Aleatório para u
for _ in range(aleatorio, Nx)):
    u_n[randint(0, size), randint(0, size)] = u0


# Aleatório para v
for _ in range(aleatorio, Nx)):
    v_n[randint(0, size), randint(0, size)] = v0

Condição de nove pontos centrais

Foi utilizado na figura 2.

Figura 6:: Utilizando a condição de borda para v.

No centro divide 9 pontos igualmente espaçados de tamanho , para .

# Nove pontos centrais (u0)
mid = int(Nx / 2)  # Centro
mov = int(Nx / 4)  # Movendo para cima e para os lados

u_n[mid, mid] = u0
u_n[mid + mov, mid + mov] = u0
u_n[mid + mov, mid] = u0
u_n[mid, mid + mov] = u0
u_n[mid + mov, mid - mov] = u0
u_n[mid - mov, mid - mov] = u0
u_n[mid - mov, mid] = u0
u_n[mid, mid - mov] = u0
u_n[mid - mov, mid + mov] = u0

Condição da borda completa

Foi utilizado na figura 2.

Completa toda a borda do recipiente com reagente .

Figura 7:: Utilizando a condição de borda para v.
# Toda a borda (v0)
for i in range(Nx):
    v_n[0, i] = v0
    v_n[i, 0] = v0
    v_n[Nx - 1, i] = v0
    v_n[i, Nx - 1] = v0

Referências

  1. J. Tyson, Some further studies of nonlinear oscillations in chemical systems, J. Chem. Phys. 58 (1973) 3919
  2. 2,0 2,1 Scholz, Christian, Morphology of Experimental and Simulated Turing Patterns, 2009, p. 27-29.