Modelo Brusselator de Reação-Difusão: mudanças entre as edições

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Onde U e V são as espécies químicas de interesse. Assumimos A e B em excesso para que o sistema não atinja o equilíbrio.  Esse sistema químico foi importante para o avanço na área de sistemas complexos porque possibilita o uso de modelos matemáticos de duas dimensões, já que U e V são variáveis dependentes, e admite “limit-cycle oscilations”. [ R. Lefever and G. Nicolis, Chemical instabilities and sustained oscillations, J. Theor. Biol. 30 (1971) 267.].
Onde U e V são as espécies químicas de interesse. Assumimos A e B em excesso para que o sistema não atinja o equilíbrio.  Esse sistema químico foi importante para o avanço na área de sistemas complexos porque possibilita o uso de modelos matemáticos de duas dimensões, já que U e V são variáveis dependentes, e admite “limit-cycle oscilations”. [ R. Lefever and G. Nicolis, Chemical instabilities and sustained oscillations, J. Theor. Biol. 30 (1971) 267.].
[[Arquivo:GrafsPaGreatQuality.jpg|thumb|500px|'''Figura 3:'''  ]]


As equações diferenciais parciais associadas com o sistema Brusselator são dadas por(G. Adomian, The diffusion-Brusselator equation. Comput. Math. Appl. 29, 1–3 (1995)):
As equações diferenciais parciais associadas com o sistema Brusselator são dadas por(G. Adomian, The diffusion-Brusselator equation. Comput. Math. Appl. 29, 1–3 (1995)):

Edição das 14h45min de 10 de março de 2022

Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

Figura 1: Variação da concentração em um recipiente de 50x50. Áreas em amarelo correspondem a uma grande quantidade de reagente U.

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

Figura 2: Os gráficos mostram a variação da concentração de um dos reagentes, neste caso estamos avaliando U. No gráfico da direita a quantidade do reagente U (amarelo) é maior quando o ponto atinge um mínimo local (gráfico da esquerda). No gráfico da esquerda temos a variação total das concentrações no sistema, quando o ponto está em um mínimo local temos que a equação (1.c) é satisfeita, logo gerando uma concentração maior de U no sistema.

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizam reações de reação-difusão. Um dos modelos mais utilizados é o modelo de Brusselator, que é utilizado para descrever o mecanismo químico de reação-difusão com oscilações não lineares. [J. Tyson, Some further studies of nonlinear oscillations in chemical systems, J. Chem. Phys. 58 (1973) 3919.] Turing [ref?] observou que quando determinadas reações são associadas a difusão, é possível obter um padrão espacial estável, e isso leva a teoria de morfogênese. Além de processos de reação-difusão, o modelo Brusselator é observado em reações enzimáticas e na física de plasma e de lasers.

O mecanismo de Brusselator proposto por Prigogine (1970) é dado por [I. Prigogine, R. Lefever, Symmetries breaking instabilities in dissipative systems II. J. Phys. Chem. 48, 1695–1700 (1968)]:

(1.a)
(1. b)
(1.c)
(1.d)

Onde U e V são as espécies químicas de interesse. Assumimos A e B em excesso para que o sistema não atinja o equilíbrio. Esse sistema químico foi importante para o avanço na área de sistemas complexos porque possibilita o uso de modelos matemáticos de duas dimensões, já que U e V são variáveis dependentes, e admite “limit-cycle oscilations”. [ R. Lefever and G. Nicolis, Chemical instabilities and sustained oscillations, J. Theor. Biol. 30 (1971) 267.].

Figura 3:

As equações diferenciais parciais associadas com o sistema Brusselator são dadas por(G. Adomian, The diffusion-Brusselator equation. Comput. Math. Appl. 29, 1–3 (1995)):

onde e são as concentrações a serem investigadas em função de tempo e espaço, e são constantes relativas às concentrações dos reagentes A e B, e e constantes de difusão.

A solução analítica do sistema reação-difusão Brusselator ainda não é conhecida e por isso há o interesse de explorá-la numericamente.

Análise da estabilidade do sistema

Análise de ponto crítico

Considerando o sistema livre de difusão, quando :


Onde e e e são constantes positivas e reais. A matriz jacobiana no ponto crítico é dada por


Os autovalores de são os valores que satisfazem a equação caracterísitca

Os autovalores claramente mostram dependência em e no determinante . Esses autovalores governam a estabilidade do ponto crítico ou determinam a existência de um ciclo limite. As propriedades de estabilidade ou a existência de um ciclo limite estão sumarizadas na tabela abaixo, em relação a figura 1.

[[Arquivo:]]

Utilizando a teoria Hopf, é mostrado que o ponto crítico perde sua estabilidade quando A e B movem da região 2 para região 3, na figura 1, atravessando a curva . Uma bifurcação Hopf ocorre quando ao passo que essa curva é atravessada e um ciclo limite estável existe para A e B nas regiões 1 e 2, mas não para A e B nas regiões 3 e 4.

Conclui-se que a curva governa a estabilidade do sistema.


Análise de ponto fixo

O estado estacionário do sistema pode ser encontrado igualando o coeficiente de difusão, e portanto as derivadas parciais, a zero. Percebe-se que esse sistema converge para os pontos fixos:

Em [twizell] a manipulação da matriz jacobiana nos pontos fixos resulta nos seguintes autovalores


Onde fica claro que os denominadores dos autovalores são sempre positivos quando and . As inequações

e

São verdadeiras sempre que . Portanto, uma condição suficiente para o ponto fixo atrair a sequência gerada pelo sistema é .

Ainda em [Twizell] o modelo reação-difusão Brusselator foi discretizado e a análise dos pontos fixos concluiu que o sistema converge para e , sendo esse o único estado estacionário do sistema.

Concluiu que também que o sistema apresenta estado oscilatório quando

Estado em que o sistema não converge para nenhum ponto.


Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:


Substituindo nas equações do Brusselator

onde e são as funções que representam a reação sem difusão.


Utilizamos discretização do tipo


Utilizando a notação , assumindo e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como


onde e .

Análise de estabilidade do método

Implementação

O método foi implementado em Python, considerando , variando as constantes e e as condições iniciais do problema.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio
from random import randint

# Constantes
Nx = Ny = 50
Largura = 1

# Valores iniciais | Padrão de teste: U0 = 2 & V0 = 1 -> Pisca
# U0 = V0 = 1 -> Fica variando as piscadas entre horizontal e vertical
u0 = 1
v0 = 2

t = 0
t_max = 30
dt = 0.1
ds = 1

# a = 1, b = 3
a = 1
b = 1.7

# Constantes dos reagentes e da estabilidade
Du = 0.1
Dv = 1
ku = Du * dt / (ds ** 2)
kv = Dv * dt / (ds ** 2)

# Constantes para gerar o Gif
gif_passo_total = 0.1  # Intervalo de tempo entre imagens
gif_passo_inicial = 0  # Inicializador
figura = 1  # Nome das figuras
fig_names = []  # Armazenando nome das figuras
fig_atual = 0  # Figura atual
fig_total = t_max / dt  # Quantia de figuras
size = Nx - 1  # Tamanho do range
plot_start = 0   # Começa a plotar a partir deste tempo


# Pedaço da equação sem derivada parcial
def f(u, v):
    return a - (b + 1) * u + u * u * v


# Pedaço da equação sem derivada parcial
def g(u, v):
    return b * u - u * u * v


# vetores no tempo n
u_n = np.zeros((Nx, Ny))
v_n = np.zeros((Nx, Ny))

# vetores no tempo n+1
u_n1 = np.zeros((Nx, Ny))
v_n1 = np.zeros((Nx, Ny))

# Condicoes novas

"""
Esta parte você pode tirar as aspas para gerar uma condição inicial desejada, se quiser pode ativar todas.
A mais interessante na minha opinião é a condição em uma posição aleatória.
"""

# Condição em formato de cruz (U0)
"""
for i in range(Largura):
    # Meio
    u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2)] = u0

    # Laterais
    #       X                   Y
    u_n[int(Nx / 2) + 1, int(Ny / 2)] = u0
    u_n[int(Nx / 2) - 1, int(Ny / 2)] = u0

    # Alturas
    #       X                   Y
    u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2) + 1] = u0
    u_n[int(Nx / 2), int(Ny / 2) - 1] = u0
"""

# Bordas (V0)
"""for i in range(Largura):
    # Sup Esq
    v_n[0, 0] = v0

    # Sup Dir
    v_n[0, Nx - 1] = v0

    # Inf Esq
    v_n[Nx - 1, 0] = v0

    # Inf Dir
    v_n[Nx - 1, Nx - 1] = v0"""

# Aleatório, 10 lugares
"""
for _ in range(randint(int(Nx / 5), Nx)):
    u_n[randint(0, size), randint(0, size)] = u0
for _ in range(randint(int(Nx / 5), Nx)):
    v_n[randint(0, size), randint(0, size)] = v0
"""

# Nove pontos centrais (u0)
mid = int(Nx / 2)  # Centro
mov = int(Nx / 4)  # Movendo para cima e para os lados
u_n[mid, mid] = u_n[mid + mov, mid + mov] = u_n[mid + mov, mid] = u_n[mid, mid + mov] = u_n[mid + mov, mid - mov] = u0
u_n[mid - mov, mid - mov] = u_n[mid - mov, mid] = u_n[mid, mid - mov] = u_n[mid - mov, mid + mov] = u0

# Toda a borda (v0)
for i in range(Nx):
    v_n[0, i] = v0
    v_n[i, 0] = v0
    v_n[Nx - 1, i] = v0
    v_n[i, Nx - 1] = v0

# Criando listas separadas para plotar os gráficos.
lista_pu = []
lista_pv = []

# Algumas listas são extras, não precisam realmente estar ali, estão apenas para organização.
lista_t = []
lista_u = []
lista_v = []
lista_indices = []
indice = 0

# Plot de concentração de Nx , Ny
lista_mesh_u = np.zeros((Nx, Ny))
lista_mesh_v = np.zeros((Nx, Ny))

# Calculando concentrações com FTCS
while t < t_max:

    for i in range(Nx):
        i_e = (i - 1) % Nx  # vizinho a esquerda de 0 é o da ultima posicao
        i_d = (i + 1) % Nx  # vizinho a direita da ultima posicao é o zero

        for j in range(Ny):
            j_e = (j - 1) % Ny
            j_d = (j + 1) % Ny

            u_n1[i, j] = u_n[i, j] + dt * f(u_n[i, j], v_n[i, j]) \
                         + ku * (u_n[i_e, j] + u_n[i_d, j] + u_n[i, j_e] + u_n[i, j_d] - 4 * u_n[i, j])
            v_n1[i, j] = v_n[i, j] + dt * g(u_n[i, j], v_n[i, j]) \
                         + kv * (v_n[i_e, j] + v_n[i_d, j] + v_n[i, j_e] + v_n[i, j_d] - 4 * v_n[i, j])

            # Lista i, j

            lista_mesh_u[i, j] = u_n1[i, j]
            lista_mesh_v[i, j] = v_n1[i, j]

    lista_u.append(u_n1[0][0])
    lista_v.append(v_n1[0][0])

    # atualizar u_n e v_n
    for i in range(Nx):
        for j in range(Ny):
            u_n[i, j] = u_n1[i, j]
            v_n[i, j] = v_n1[i, j]

    # Criar o Gif, caso não queira o gif, apenas apague esta parte
    if t > plot_start:
        if gif_passo_inicial > gif_passo_total:
            gif_passo_inicial = 0
            plt.imshow(lista_mesh_u, interpolation='none')
            plt.title(f'$u_0$ = {u0} | $v_0$ = {v0} | a = {a} | b = {b} | t: {round(t, 2)}s')

            # Para funcionar você deve colocar onde será salvo as imagens geradas para o gif.
            plt.savefig(f'C:/Users/ericn/PycharmProjects/MetCompC/Brusselator/Figuras/{figura}.png')
            # Para funcionar você deve colocar onde foram salvas as imagens geradas para o gif.
            fig_names.append(f'C:/Users/ericn/PycharmProjects/MetCompC/Brusselator/Figuras/{figura}.png')
            fig_atual = figura
            print(f'{round(fig_atual / fig_total * 100, 4)}%')

    # Para fazer outro plot
    if gif_passo_inicial > gif_passo_total:
        lista_indices.append(indice)

    indice += 1
    gif_passo_inicial += dt

    figura += 1

    t += dt
    lista_t.append(t)

    print(f'{round(t / t_max * 100, 3)}%')

with imageio.get_writer('BrusselatorGif.gif', mode='I') as writer:
    print('Gifando')
    for filename in fig_names:
        image = imageio.imread(filename)
        writer.append_data(image)

# Plotar UxT animado
nome_plot = []
for i in lista_indices:
    plt.plot(lista_t, lista_u, color='red', label=f'$u_0$ = {u0}')
    plt.plot(lista_t, lista_v, color='blue', label=f'$v_0$ = {v0}')
    plt.scatter(lista_t[i], lista_u[i], color='black')
    plt.xlabel('tempo')
    plt.ylabel('concentração')
    plt.title(f'Taxa de variação das concentrações. t = {lista_t[i]}')
    plt.xticks([i for i in range(0, 51, 5)])
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    # Para funcionar você deve colocar onde será salvo as imagens geradas para o gif.
    plt.savefig(f'C:/Users/ericn/PycharmProjects/MetCompC/Brusselator/PlotUT/{i}.png')
    # Para funcionar você deve colocar onde foram salvas as imagens geradas para o gif.
    nome_plot.append(f'C:/Users/ericn/PycharmProjects/MetCompC/Brusselator/PlotUT/{i}.png')
    plt.cla()
    print(f'{round(i/lista_indices[-1]*100, 3)}%')


with imageio.get_writer('BrusselatorUTGif.gif', mode='I') as writer:
    print('Gifando')
    for filename in nome_plot:
        image = imageio.imread(filename)
        writer.append_data(image)