Exibir código-fonte para Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem

= Runge-Kutta 2ª ordem =

No método explícito de euler tínhamos:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\end{align}</math>

Sendo <math display="inline">\frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)</math>. Podemos reescrever como:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+ak_{1}\end{align}</math>

Onde <math display="inline">a=1</math> e <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>. Agor se supormos uma solução:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+ak_{1}+bk_{2}\qquad\left(1\right)\end{align}</math> Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica <math display="inline">y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math> em um tempo genérico <math display="inline">t+d\Delta t</math>, isto é <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\right)\Delta t</math>. Usando o fato de que <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>, podemos escrever então que:

* <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>
* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+ck_{1}\right)\Delta t</math>

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+y''\left(t\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\sum_{n=3}^{\infty}y^{\left(n\right)}\left(t\right)\frac{\Delta t^{n}}{n!}</math>

Abrindo a segunda derivada, temos:

<math display="block">\begin{align}
y''\left(t\right)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}y\left(t\right) & =\frac{d}{dt}f\left(t,y\right)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\end{align}</math>

Substituindo então, e escrevendo apenas <math display="inline">\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)=\sum_{n=3}^{\infty}y^{\left(n\right)}\left(t\right)\frac{\Delta t^{n}}{n!}</math>, temos a seguinte expansão em série de Taylor:

<math display="block">y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+\left(\frac{\partial f}{\partial t}+f\left(t,y\right)\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{\Delta t^{2}}{2}+\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right)\qquad\left(2\right)</math>

Vamos expandir <math display="inline">k_{2}</math>. Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de <math display="inline">\left(a,b\right)</math> é dado por <ref> [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables Taylor Polynomials of Functions of Two Variables] ( Paul Seeburger, LibreTexts)</ref>:

<math display="block">f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f_{x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_{y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)</math>

Onde <math display="inline">f_{a}</math> denota a derivada da função <math display="inline">f</math> na variável <math display="inline">a</math>. Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de <math display="inline">\left(x,y\right)</math>:

<math display="block">f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)\approx f\left(x,y\right)+f_{x}\left(x,y\right)\Delta x+f_{y}\left(x,y\right)\Delta y</math>

Expandindo então <math display="inline">k_{2}</math> em torno de <math display="inline">\left(t_{n},y_{n}\right)</math> temos:

<math display="block">k_{2}\approx\left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+ck_{1}\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t</math>

Aqui podemos notar que <math display="inline">\Delta t</math> multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de <math display="inline">f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)</math>, deprezamos os termos de terceira ordem de <math display="inline">k_{2}</math>. Substituindo então o <math display="inline">k_{2}</math>aproximado e <math display="inline">k_{1}</math> na equação '''1''', temos:

<math display="block">y_{n+1}=y_{n}+af\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+b\left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t</math>

Manipulando:

<math display="block">y_{n+1}=y_{n}+\left(a+b\right)f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+\left[2bd\frac{\partial}{\partial t}f\left(t_{n},y_{n}\right)+2bcf\left(t_{n},y_{n}\right)\frac{\partial}{\partial y}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\frac{\Delta t^{2}}{2}\qquad\left(3\right)</math>

Comparando a aproximação '''3''' com a expansão '''2''' temos a seguinte relação:

<math display="block">\begin{align}
a+b & =1\\
bd & =\frac{1}{2}\\
bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=-1</math>:

* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>

Então:

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\frac{\Delta t}{2}\right)\Delta t\end{align}</math>

O método de Heun é obtido se for escolhido <math display="inline">a=b=\frac{1}{2}</math> e <math display="inline">c=d=1</math>:

* <math display="inline">k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t</math>
* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\Delta t,y_{n}+k_{1}\Delta t\right)\Delta t</math>

<math display="block">\begin{align}
y_{n+1} & =y_{n}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\frac{1}{2}\end{align}</math>

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é <math> \mathcal{O}\left(\Delta^{2}\right) </math> e o local é <math>\mathcal{O}\left(\Delta^{3}\right) </math>.

==Exemplo ==

<pre>

</pre>

= Runge-Kutta 4ª ordem =


==Exemplo ==


<pre>

</pre>

= Principais materiais utilizados =

#[https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node5.html  Runge-Kutta Methods ] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
#[https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntSecond.html##section13  Second Order Runge-Kutta ] (Erik Cheever, Swarthmore)

= Citações =
<references />