Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem

De Física Computacional
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Runge-Kutta 2ª ordem

No método explícito de euler tínhamos:

Sendo . Podemos reescrever como:

Onde e . Agor se supormos uma solução:

Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica em um tempo genérico , isto é . Usando o fato de que , podemos escrever então que:

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

Abrindo a segunda derivada, temos:

Substituindo então, e escrevendo apenas , temos a seguinte expansão em série de Taylor:

Vamos expandir . Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de é dado por [1]:

Onde denota a derivada da função na variável . Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de :

Expandindo então em torno de temos:

Aqui podemos notar que multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de , deprezamos os termos de terceira ordem de . Substituindo então o aproximado e na equação 1, temos:

Manipulando:

Comparando a aproximação 3 com a expansão 2 temos a seguinte relação:

Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: , e :

Então:

O método de Heun é obtido se for escolhido e :

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é e o local é .

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer:

Podemos ressaltar ainda que e .


import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.0001 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it],w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Solução
  x.append(x[it]+k2x)
  v.append(v[it]+k2v)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Runge-Kutta 4ª ordem

O método de Runge-Kutta de quarta ordem segue uma ideia similar e pode ser obtido utilizando a mesma técnica. Porém agora vamos ignorar termos de ordem ou superior, então será necessário lidar com uma enorme quantidade de termos, o que torna a tarefa exaustiva e repetitiva. Logo não será feito esta demonstração aqui, mas o algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem pode ser dado por:


E por fim, temos então que o novo valor será dado por:

Exemplo

Vamos resolver o mesmo exemplo anterior, porém agora utilizando o Range-Kutta de quarta ordem.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.01 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de quarta ordem
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it]     ,w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Terceira etapa
  k3x = fx(v[it]+k2v/2)*dt
  k3v = fv(x[it]+k2x/2,w2)*dt
  #Quarta etapa
  k4x = fx(v[it]+k3v)*dt
  k4v = fv(x[it]+k3x,w2)*dt
  #Solução:
  x.append(x[it]+(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6)
  v.append(v[it]+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)/6)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

plt.plot(t,x)
plt.plot(t,v)
plt.plot(t,E)
#plt.plot(x,v)

Ainda podemos chamar a atenção para o fato de que devemos intercalar os coeficientes em ambos os métodos, uma vez que coeficientes seguintes dependem dos valores anteriores.

Principais materiais utilizados

  1. Métodos de Runge-Kutta explícitos (REAMAT, UFRGS)
  2. Runge-Kutta Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
  3. Second Order Runge-Kutta (Erik Cheever, Swarthmore)

Citações