Método de Euler-Cromer: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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<math display="block">\det\left(\overline{M}\right)=1+\left(\omega\Delta t\right)^{2}>1</math>
<math display="block">\det\left(\overline{M}\right)=1+\left(\omega\Delta t\right)^{2}>1</math>


Ométodo de Euler-Crome propõe usar <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math> no lugar de <math display="inline">v\left(t\right)</math> para calcular <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math>. Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>:
Outra forma de analisar o caso da oscilção quando usado o método explícito de Euler, é abrindo as contas. Escrevendo então a energia como:
 
<math display="block">\begin{align}
E\left(t+\Delta t\right) & =\frac{1}{2}mv^{2}\left(\Delta t+t\right)+\frac{1}{2}kx^{2}\left(\Delta t+t\right)\\
& =\frac{1}{2}m\left(v^{2}\left(\Delta t+t\right)+\omega^{2}x^{2}\left(\Delta t+t\right)\right)\end{align}</math>
 
Onde fazemos <math display="inline">\omega^{2}=k/m</math>. Usando então:
 
<math display="block">\begin{align}
v\left(\Delta t+t\right) & =v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\\
x\left(\Delta t+t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\end{align}</math>
 
Temos:
 
<math display="block">\begin{align}
E\left(t+\Delta t\right) & =\frac{1}{2}m\left(\left(v\left(t\right)-\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right)^{2}+\omega^{2}\left(x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\right)^{2}\right)\\
& =\frac{1}{2}m\left[v^{2}\left(t\right)+\omega^{4}x^{2}\left(t\right)\Delta t^{2}-2v\left(t\right)\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right.\\
& \left.+\omega^{2}x^{2}\left(t\right)+\omega^{2}v^{2}\left(t\right)\Delta t^{2}+2v\left(t\right)\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\\
& =\frac{1}{2}m\left[\left(v^{2}\left(t\right)+\omega^{2}x^{2}\left(t\right)\right)+\omega^{2}\left(v^{2}\left(t\right)+\omega^{2}x^{2}\left(t\right)+\right)\Delta t^{2}\right.\\
& \left.v\left(t\right)\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t-v\left(t\right)\omega^{2}x\left(t\right)\Delta t\right]\end{align}</math>
 
FIcamos então apenas:
 
<math display="block">\begin{align}
E\left(t+\Delta t\right) & =E\left(t\right)+E\left(t\right)\omega^{2}\Delta t^{2}\end{align}</math>
 
Ou ainda:
 
<math display="block">\begin{align}
E\left(t+\Delta t\right) & =E\left(t\right)\left(1+\omega^{2}\Delta t^{2}\right)\end{align}</math>
 
Então a cada passo, a energia aumenta com um fator <math display="inline">\left(1+\omega^{2}\Delta t^{2}\right)</math>.
 
 
O método de Euler-Crome propõe usar <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math> no lugar de <math display="inline">v\left(t\right)</math> para calcular <math display="inline">x\left(t+\Delta t\right)</math>. Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de <math display="inline">v\left(t+\Delta t\right)</math>:


<math display="block">\begin{align}x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\\
<math display="block">\begin{align}x\left(t+\Delta t\right) & =x\left(t\right)+v\left(t\right)\Delta t\\
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#Constantes
#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m ; w=w2**(1/2)
m=1  ; k= 1.; w2= k/m  
#Valores iniciais
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2]  
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2]  
Linha 70: Linha 104:
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)


#Método de Euler
#Método de Euler-Cromer
for it  in range(Np):
for it  in range(Np):
   x.append(x[it]+dt*v[it])   
   x.append(x[it]+dt*v[it])   

Edição atual tal como às 16h22min de 22 de fevereiro de 2022

Lembrando do que vimos no Método de Euler, o sistema de equações para o sistema massa-mola era:

Aplicando o método de Euler então:

Em notação matricial temos:

Porém a matriz transforma o vetor no vetor , representando então a evolução no espao de fases e seu determinante representa a variação dovolume no espaço de fases. Para um problema conservativo, logo o determinante deve ser , uma vez que essevolume deve se manter constante. Para o método de Euler temos:

Outra forma de analisar o caso da oscilção quando usado o método explícito de Euler, é abrindo as contas. Escrevendo então a energia como:

Onde fazemos . Usando então:

Temos:

FIcamos então apenas:

Ou ainda:

Então a cada passo, a energia aumenta com um fator .


O método de Euler-Crome propõe usar no lugar de para calcular . Manipulando temos, lembrando que podemos substituir o valor de :

Atualizando então a notação matricial temos:

Calculando então o novo determinante, temos:

Algumas observações que podem ser feitas: a primeira é que também podemos fazer diferente e usar no lugar de para calcular . E a segunda é que quando olhamos para nossa aproximação, temos um intervalo de tempo entre e . No método de Euler original, usamo a velocidade no começo intervalo () para calcular a nova posição (, no de Euler-Cramer usamos no fim do intervalo (), mas de certa forma tem a mesma natureza de aproximação. Como para uma equação tivemos o método de Euler-implícito, porém agora trabalhamos com um sistema de equações. Esse método também é chamado de ’semi-implícito.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m 
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)

#Método de Euler-Cromer
for it  in range(Np):
  x.append(x[it]+dt*v[it])  
  v.append(v[it]-dt*x[it+1]*w2) #Usamos x[it+1] ao invés de x[it]
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)