Mudanças entre as edições de "Método de Euler"

De Física Computacional
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plt.plot(N)                      #Construimos o gráfico
 
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plt.show()                        #Plotamos
 
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= Euler implícito =
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A equação da reta obtida no euler explícito pode ser obtida a partir da definição da derivada:
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<math display="block">\frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)\approx\frac{y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}\longrightarrow y\left(t+\Delta t\right)\approx y\left(t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t</math>
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Mas também podemos escrever a derivada como:
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<math display="block">\frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)\approx\frac{y\left(t\right)-y\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}\longrightarrow y\left(t\right)\approx y\left(t-\Delta t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t</math>
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Mantendo a notação:
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<math display="block">y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)\Delta t</math>
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O termo <math display="inline">f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)</math> não é conhecido, por isso temos uma equação implícita para <math display="inline">y_{n+1}</math>. Métodos implícitos podem ser usados quando temos restrições muito rigorosas no método explícito devido a condições de estabilidade.
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<span id="exemplo"></span>
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=== Exemplo ===
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Trabalhando novamente com o decaimento radioativo:
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<math display="block">\frac{dN}{dt}=-\lambda N</math>
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Vamo ter então:
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N_{n+1} & =N_{n}+f\left(t_{n+1},N_{n+1}\right)\Delta t\\
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N_{n+1} & =N_{n}-\lambda N_{n+1}\Delta t\\
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N_{n+1}\left(1+\lambda\Delta t\right) & =N_{n}\\
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N_{n+1} & =\frac{N_{n}}{1+\lambda\Delta t}\end{align}</math>
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Ou mais explicitamente:
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<math display="block">\begin{align}
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N\left(t_{n}+\Delta t\right) & =\frac{N\left(t\right)}{1+\lambda\Delta t}\end{align}</math>
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Uma comparação entre os dois métodos de Euler para o caso do decaimento é simples. Lembando da fórmula recursiva de ambos os casos:
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<math display="block">N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[1-\lambda\Delta t\right]\qquad e \qquad N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[\frac{1}{1+\lambda\Delta t}\right]</math>
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E fazendo uma expansão em série de Taylor em torno de <math display="inline">0</math>, escrevendo <math display="inline">x=\lambda\Delta t</math>, temos:
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<math display="block">\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}=\left(1-x\right)+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}</math>
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Então os termos são iguais até a primeira ordem, sendo assim uma boa aproximação.
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Implementando o método de euler implícito, temos:
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import matplotlib.pyplot as plt  #Biblioteca para plotar gráficos
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N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1 #Parâmetros
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fac = 1+lam*dt      #Função calculada
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for i in range(Np): #Vamo calcular Np passos
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  N.append(N[i]/fac)#Salvamos o novo valor
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  print(i*dt,N[i])  #printamos o resultado
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plt.plot(N)        #Construimos o gráfico
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plt.show()          #Plotamos
 
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=== Principais materiais utilizados ===
 
=== Principais materiais utilizados ===
  
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# # [https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node3.html Forward and Backward Euler Methods] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
 
# [https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/eulersmethod.aspx Euler's Method] (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
 
# [https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/eulersmethod.aspx Euler's Method] (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
 
# [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-metodo_de_euler.html#x105-19100010.2  Método de Euler] (REAMAT, UFRGS)
 
# [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-metodo_de_euler.html#x105-19100010.2  Método de Euler] (REAMAT, UFRGS)

Edição das 16h40min de 26 de janeiro de 2022

Euler explícito

A grande maioria das equações diferenciais de primeira ordem não podem ser resolvidas analiticamente. Para o comportamento a longo prazo de uma solução podemos tentar esboçar um campo de direções, mas se precisamos conhecer mais especificamente como uma solução se comporta, precisamos de outra ferramenta. Os métodos numéricos nos permitem obter soluções aproximadas para as equações diferenciais.

Começando com uma problema genérico de valor inicial:

Considerando que conhecemos a função e os valores na condição inicial, assumimos que é tudo contínuo de forma que sabemos que uma solução de fato vai existir. Temos então para :

Dessa forma podemos escrever uma reta tangente à curva no ponto usando a inclinação :

Para visualizar melhor esta equação, podemos fazer , ficmos então com . Desta forma, fica ainda mais evidente que esta é uma equação de reta com inclinação , e quando temos , ou seja, uma reta que passa pelo ponto . Para temos apenas um deslocamento no eixo.

Então se é perto o suficiente de , a equação da reta vai estar perto do valor atual da solução em . Então podemos escrever:

Podemos repetir o processo, usando agora como valor inicial, então:

Ou de maneira genérica:

Podemos ainda reescrever o passo como , de forma que ficamos com:

Outra forma de visualizar o resultado, é considerar a reta:

Como a solução aproximada para o intervalo . Então com um conjunto de retas podemos ter uma aproximação para a solução como um todo.

Exemplo

O primeiro exemplo de aplicação é o decaimento radiativo, cuja equação diferencial é:

Onde é a quantidade de partículas que sofrem o decaimento e a taxa no qual o decaimento ocorre.

  • Notem que a mesma equação pode descrever a diminuição de uma população estéril ( sendo a quantidade de indivíduos vivos e a taxa de mortalidade) ou a descarga de um circuito RC.
  • A aplicação do método a este exemplo de primeira ordem nos leva a seguinte relação de recorrência

Ou mais explicitamente:

Implementando:

import matplotlib.pyplot as plt   #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1  #Parâmetros

fac = 1-lam*dt                    #Função calculada
for i in range(Np):               #Vamo calcular Np passos
  N.append(fac*N[i])              #Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])                #printamos o resultado

plt.plot(N)                       #Construimos o gráfico
plt.show()                        #Plotamos

Euler implícito

A equação da reta obtida no euler explícito pode ser obtida a partir da definição da derivada:

Mas também podemos escrever a derivada como:

Mantendo a notação:

O termo não é conhecido, por isso temos uma equação implícita para . Métodos implícitos podem ser usados quando temos restrições muito rigorosas no método explícito devido a condições de estabilidade.

Exemplo

Trabalhando novamente com o decaimento radioativo:

Vamo ter então:

Ou mais explicitamente:

Uma comparação entre os dois métodos de Euler para o caso do decaimento é simples. Lembando da fórmula recursiva de ambos os casos:

E fazendo uma expansão em série de Taylor em torno de , escrevendo , temos:

Então os termos são iguais até a primeira ordem, sendo assim uma boa aproximação.

Implementando o método de euler implícito, temos:

import matplotlib.pyplot as plt  #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1 #Parâmetros

fac = 1+lam*dt      #Função calculada
for i in range(Np): #Vamo calcular Np passos
  N.append(N[i]/fac)#Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])  #printamos o resultado

plt.plot(N)         #Construimos o gráfico
plt.show()          #Plotamos

Principais materiais utilizados

  1. # Forward and Backward Euler Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
  2. Euler's Method (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
  3. Método de Euler (REAMAT, UFRGS)