Grupo - Solução Exata para Movimento Anisotrópico de Ornstein-Uhlenbeck

De Física Computacional
Edição feita às 21h09min de 9 de janeiro de 2020 por Almeidajuliano (Discussão | contribs)

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Introdução

Movimento coletivo ordenado de diversos organismos é um fenômeno que pode ser observado em diversas situações, como em movimento de cardumes, migração de pássaros, migração celular, etc..

Aquilo que é mais curioso destes tipos de movimento é que o mesmo surge através de movimentos aleatórios dos indivíduos que o compõem, ou seja, o movimento individual e a aleatório de um grupo de células quando postos a interagir entre si leva a um movimento ordenado em curtas escalas de tempo.

Um dos modelos anteriores a este, o modelo de Vicsek, visa descrever o movimento coletivo ordenado de partículas “inteligentes”, isto é, partículas que podem observar as outras partículas na vizinhança e mover-se de acordo com a média do movimento do grupo. Um bom exemplo deste tipo de movimento é o movimento de pássaros ou peixes, da onde movimentos ordenados podem emergir de movimentos aleatórios dos indivíduos autopropulsionados. Curiosamente, mesmo que estes sistemas estejam longe de um estado de equilíbrio, os mesmos apresentam características típicas de sistemas no equilíbrio, como transições de fase bem definidas.

Contudo, partículas “não inteligentes” já haviam demonstrado o mesmo tipo de movimento coletivo experimentalmente, com as mesmas mudanças de fase bem definidas. É para explicar isso, que o modelo de Szabó foi criado. Nele, o mesmo fenômeno é descrito utilizando somente as forças de interação intracelulares já que isso é algo que independe da capacidade da célula de poder observar a média do movimento da vizinhança, como era em Vicsek.

Essas forças são repulsivas para distâncias () menores que , sendo o seu máximo para esse caso, atrativa para , sendo o máximo para esse caso, e zero para maior que um certo .


Essas forças levam às seguintes equações de movimento:



Onde é o número de partículas e é o somatório da todas as interações sobre uma partícula i.

 

Onde é o tempo de relaxamento, é o vetor na direção de polarização, tal que , é o vetor normal, e é um ruído branco.

Neste modelo, o movimento bidimensional das células é descrito por uma dinâmica superamortecida. Na mesma, cada célula tenta manter uma velocidade de magnitude na direção do vetor , sendo que a direção desse vetor é descrita pelo ângulo que tenta relaxar na direção da velocidade enquanto sofre ruído gaussiano.

Embora descreva bem este movimento, o modelo de Szabó fornece somente soluções numéricas para o problema. Para obtermos uma solução analítica, o problema precisa ser descrito de outra forma. É com esse objetivo que o modelo de Rita et al. foi feito.

Modelo

Neste modelo, em vez de ter a relaxação da velocidade na direção da polarização, a mesma é projetada sobre a polarização, enquanto ela muda com ruído. Essa direção de polarização interna pode representar, p.e., a polarização dos filamentos de actina na direção preferencial em migração celular.

Com isso pode-se observar duas transições, ou seja, uma transição de um estado desordenado para um estado ordenado e para um estado desordenado de novo. Essas duas transições representam a aleatoriedade do movimento inicial das células, depois a escolha de uma direção preferencial e por último a variação desta direção preferencial.

Contudo, neste modelo deve-se assumir que, para a partícula, seu movimento é anisotrópico, ou seja, apresenta assimetria nas dinâmicas de movimento em direções diferentes, uma na direção paralela à direção de polarização e outra perpendicular.

Movimento Paralelo

Na direção paralela à polarização, temos o sistema agindo numa dinâmica semelhante a de Langevin (), mais especificamente, um processo de Orstein-Uhlenbeck amortecido. Nesta direção a velocidade (paralela) é bem definida. Tanto para o movimento paralelo, quanto para o movimento perpendicular, o vetor é o vetor que indica a direção de polarização e é o vetor perpendicular a .



Onde é a velocidade paralela, é o coeficiente de atrito e é o ruído gaussiano paralelo.

A velocidade diminui por causa do atrito com o substrato, já que pode-se observar que tende a se for pequeno, e diminui ou aumenta por causa do termo estocástico . A primeira equação assume que durante o intervalo , a direção de polarização é constante. Somente em , a velocidade na direção é projetada sobre a nova direção de polarização .

Movimento Perpendicular

Na direção perpendicular à polarização, o sistema segue um processo de Wiener (movimento aleatório) por causa das flutuações na direção de polarização.



Pode-se observar que . Este movimento, por ser um processo de Wiener, é melhor descrito pelo deslocamento do que pela velocidade.

Ângulo e Ruídos