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De Física Computacional
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A equação de Poisson:

é uma equação do tipo Elíptica que representa fenômenos físicos estácionarios relacionados a Eletrostatica, Dinâmica de Fluídos e Transferência de Calor, se a equação passa a ser chamada de Equação de Laplace. Os problemas relacionados a equação de Laplace são estudados pela "Teoria do Potencial".

As soluções da Equação de Laplace são denominadas funções Harmônicas. Como já era de se esperar, os problemas mais habituais na vida de um físico, engenheiro ou matemático ao se depararem com uma EDP, são os problemas com Condições de Contorno, essencialmente será trabalhada a Condição de Dirichlet, que possui fronteiras conhecidas, tendo o seguinte formato:

A equação de Poisson possui forma parecida para o Problema de Dirichlet, que fica:


Para tal problema, estudaremos os métodos de Relaxação e Super-Relaxação para encontrar as soluções da Equação de Laplace no Quadrado de Lado e faremos (se possível) a solução númerica via Formula de Poisson para a Bola Unitária centrada na origem .

Quadrado de Lado

Forma Analítica da Solução

Seja o problema em , temos:

sendo

Separamos o problema geral de Dirchlet em 4 problemas "menores" tal que obtemos os problemas desde:

...

até:


Podemos então utilizar o Método da Separação de Variáveis para resolver os 4 "probleminhas" e, como a Equação de Laplace é linear, sua soma será a solução completa do Problema de Dirichlet. O método consiste em supor , para então, ao substituirmos na equação obtermos a seguinte expressão:

Podemos isolar as funções e , de fato ficamos com com duas relações que dependem de suas variações, portanto para elas serem sempre iguais, é necessário que sejam constantes ():

Assim obtemos 2 EDOs de segunda ordem, que podem ser resolvidas pelo Método dos Coeficientes a Determinar. Como não é objetivo aqui realizar cálculos analíticos (especialmente "na mão") apenas será resolvido o primeiro problema ():

As condições de contorno mostram que , e .

Dividindo o problema, temos a parte de


Supondo uma solução da forma :


Ou seja, temos a solução de sendo

Utilizando a C.C. vemos que .

Partindo para a segunda equação ,


supondo solução do tipo temos:

Ou seja, temos solução

Utilizando a primeira C.C. obtemos ou seja, temos que

Utilizando a segunda C.C. temos , ou seja, existem infinitos tal que é solução.

Voltando a , temos Finalmente unindo as respostas, temos

sendo

Para os outros problemas, temos soluções parecidas:

sendo

sendo

sendo

A solução completa do problema de Dirichlet no quadrado de Lado é a soma das quatro soluções parciais: .

Algoritmo de Relaxação

Discretizando a equação temos e para , e , nos deparamos com uma matriz quadrada sendo as bordas , , e .

Realizando-se a discretização, podemos tomar as derivadas:

e

Substituindo na Equação de Laplace, temos

ou seja:

,

ou mais geralmente (supondo ):

para

Estabilidade

A relaxação é um método Iterativo sobre os pontos vizinhos que pode ser feita de 2 modos, pelo Algoritmo de Jacobi, e pelo de Gauss-Seidel.

O algoritmo de Jacobi pega valores "antigos" para a iteração e possui convergencia muito lenta, por isso não é muito utilizado. Já o algoritmo de Gauss-Seidel pega os valores "novos" (que ja foram calculados) e os "antigos" (que não foram calculados), possui convergencia mais rapida, porém ainda é lenta.

Algoritmos iterativos tendem a convergir para solução unica, se a matriz que as representa for Diagonal Dominante, ou seja:

De fato, podemos ver que a equação de Laplace respeita tal desigualdade.


Método da Super Relaxação

Podemos, assim como no caso não estacionário da Condução do Calor (método de Crank Nicolson)