Equação de Schrödinger Unidimensional

De Física Computacional
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Conhecer o estado de uma partícula, na Mecânica Clássica, é saber, em um determinado momento, sua velocidade e sua posição. A partir destes valores, é possível determinar os seus futuros estados utilizando as relações fornecidas pelas Leis de Newton. Na Mecânica Quântica, porém, o estado físico não é mais caracterizado por uma quantidade discreta de valores numéricos, e sim, por uma função. A chamada Função de Onda, , nos informa a evolução temporal do estado quântico de uma partícula, seguindo a Equação de Schrödinger. Em uma dimensão, a Equação de Schrödinger é dada por:

O Método De Crank-Nicolson

A fim de resolvê-la numericamente para diferentes tipos de potenciais, usou-se o Método de Crank-Nicolson de resolução de EDPs. Este método baseia-se em combinar os métodos explícito e implícito (com igual contribuição) para aumentar sua estabilidade.

O método explícito FTCS (Forward Time Central Space) consiste em tomar derivadas temporais "para frente" e manter a derivada espacial centrada.

;

Tomando (unidades atômicas), ao inserirmos as expressões acima na Equação de Schrödinger, temos que:

Simplificando a notação para , onde representa a posição e o tempo, e reorganizando os termos, ficamos com:


O método implícito é semelhante, porém a derivada temporal é "para trás".

O que nos leva a ter:

que, com uma substituição de variável (que é muda), nos dá, enfim:

Como dito, o Método de Crank-Nicolson é uma combinação dos métodos implícito e explícito, cada um tendo o mesmo peso de 1/2. Ao somarmos as duas equações (cada uma multiplicada por 0.5), ficaremos com a seguinte expressão:

que, ao reorganizarmos para isolar os , resulta em:


Para resolver a equação em simultaneamente para ambos os tempos e em todos os pontos, escrevemos a equação em forma matricial:

com .

Podemos notar que a diferença entre as matrizes que multiplicam e é somente o sinal das componente imaginárias. Assim, a equação final pode ser escrita como:

, onde A é a matriz 

Exemplos de Potenciais

Oscilador Harmônico

O oscilador harmônico quântico consiste de uma partícula em uma zona onde o potencial possui comportamento harmônico, ou seja, depende de . Em nosso exemplo, inserimos um pacote de formato gaussiano no interior de um potencial harmônico e observamos sua evolução temporal.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.



using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_Oh(x)
    return 0.005(x-L/2)^2
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A = [if i==j; 1 - 2b  - V_Oh(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B = @. conj(A)
IB = inv(B)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(2*pi))*exp(-(val - L/3)^2/(2))*exp(-im*75*(val-L/3))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves = @. V_Oh(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:65
    ψ[2:end-1] = IB[2:end-1,2:end-1]*A[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]

    plot(x,abs2.(ψ),c="red")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves,c="blue")
    plot!(ylim=[0,0.5],title="t=$t")
end every 3


Barreira (Tunelamento)

Na mecânica quântica partículas podem existir, mesmo que com baixa probabilidade, em regiões que classicamente seriam proibidas. Este é o caso da barreira, onde uma partícula atravessa uma região onde sua energia total é negativa. Chamamos este fenômeno de tunelamento. A seguir, há um exemplo onde inserimos um pacote de formato gaussiano se deslocando em direção a uma barreira de potencial, de forma que parte da onda é refletida de volta e outra tunela pela barreira.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.


using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_b(x)
    if x==L/2
        return 1
    else
        return 0
    end
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A_b = [if i==j; 1 - 2b  - V_b(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B_b = @. conj(A_b)
IB_b = inv(B_b)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(8*pi))*exp(-(val - L/3)^2/(8))*exp(-im*75*(val-L/3))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves_b = @. V_b(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:35
    ψ[2:end-1] = IB_b[2:end-1,2:end-1]*A_b[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end
    plot(x,abs2.(ψ),c="red",label="|ψ|^2")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves_b,c="blue",label="V(x)")
    plot!(ylim=[0,0.2],title="t=$t")
end


Poço Finito

O contrário da barreira é o chamado de poço de potencial. Ao invés da partícula atravessá-lo por completo, uma parte do pacote de onda é refletido, uma parte é transmitido e outra ainda fica preso no meio do poço. Veja o exemplo.

Abaixo encontra-se o código usado em Júlia.


using Plots

dt = 0.1
dx = 0.25
L = 50
x = collect(0:dx:L)
size(x)	

function V_p(x)
    if x<L/3
        return 0.1
    elseif x>2L/3
        return 0.1
    else
        return 0
    end
end

b = dt*im/(4*dx^2)
A_p = [if i==j; 1 - 2b  - V_p(i)*dt*im/2 elseif i==dx+j || i==j-dx; b else 0 end for i=0:dx:L, j=0:dx:L]
B_p = @. conj(A_p)
IB_p = inv(B_p)

len = length(x)
ψ = [(sqrt(1/(8*pi))*exp(-(val - L/4)^2/(8))*exp(-im*75*(val-L/4))) for val in x]  
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end

ves_p = @. V_p(x)

t=0
@gif for t in 0:dt:50
    ψ[2:end-1] = IB_p[2:end-1,2:end-1]*A_p[2:end-1,2:end-1]*ψ[2:end-1]
for (i,num) in enumerate(ψ)
    if abs(num)<1e-10; 
        ψ[i]=0 
    end
end
    plot(x,abs2.(ψ),c="red",label="|ψ|^2")
    #plot!([x for x=0:dx:L],imag(ψ),c="blue")
    plot!([x for x=0:dx:L],ves_p,c="blue",label="V(x)")
    plot!(ylim=[0,0.15],title="t=$t")
end