Equação de Fokker-Planck: mudanças entre as edições

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\rho(x,t) + \tau \left(\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}\right) + \dots = \rho(x, t+\tau)
\rho(x,t) + \tau \left(\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}\right) + \dots = \rho(x, t+\tau)
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=\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x+\Delta x, t) \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  
=\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x+\Delta x, t) \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  
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\rho(x, t+\tau)=\rho(x,t) \cdot 1 + 0 + \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta x}{2} \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  + \dots
\rho(x, t+\tau)=\rho(x,t) \cdot 1 + 0 + \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta x}{2} \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  + \dots
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= \rho(x,t) + \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta x}{2} \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  + \dots.
= \rho(x,t) + \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta x}{2} \cdot \varphi(\Delta x) d\Delta x  + \dots.
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m\frac{d^2x}{dt^2} = -\gamma \frac{dx}{dt} + R(t)
m\frac{d^2x}{dt^2} = -\gamma \frac{dx}{dt} + R(t)
</math>
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onde <math>m</math> é a massa da partícula, <math>\gamma>0</math> é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e <math>R</math> é postulado a força de Langevin representando as flutuações de pressão devido ao movimento térmico das moléculas que compõem o líquido. <ref>Langevin equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Langevin_equation&oldid=47575.</ref>
onde <math>m</math> é a massa da partícula, <math>\gamma>0</math> é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e <math>R</math> é postulado a força de Langevin representando as flutuações de pressão devido ao movimento térmico das moléculas que compõem o líquido. <ref>Langevin equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Langevin_equation&oldid=47575.</ref>


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\langle R(t) R(t') \rangle = D \cdot \delta(t-t')
\langle R(t) R(t') \rangle = D \cdot \delta(t-t')
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onde <math>\langle f \rangle</math> descreve o valor médio ou esperado de uma função <math>f</math>, <math>D</math> é o coeficiente de difusão e <math>\delta</math> é a função delta.
onde <math>\langle f \rangle</math> descreve o valor médio ou esperado de uma função <math>f</math>, <math>D</math> é o coeficiente de difusão e <math>\delta</math> é a função delta.


A primeira propriedade afirma que o movimento é aleatório de forma que não existe nenhuma tendência de sentido para a partícula se locomover. Assim, é dito que <math>R(t)</math> se trata de um ruído branco gaussiano. Já a segunda propriedade mostra que a força em um dado tempo <math>t</math> é descorrelacionada de uma força para qualquer outro tempo <math>t'</math> (propriedade de Markov). <ref>Wikipédia: Langevin equation. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation.</ref>
A primeira propriedade afirma que o movimento é aleatório de forma que não existe nenhuma tendência de sentido para a partícula se locomover. Assim, é dito que <math>R(t)</math> se trata de um ruído branco gaussiano. Já a segunda propriedade mostra que a força em um dado tempo <math>t</math> é descorrelacionada de uma força para qualquer outro tempo <math>t'</math> (propriedade de Markov). <ref>Wikipédia: Langevin equation. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation.</ref>
== Dedução da equação de Fokker-Planck ==
Como vimos anteriormente, o movimento browniano pode ser descrito pela equação de Langevin, a qual podemos resolver sem nenhum problema. Contudo, alternativamente, podemos fazer uso da equação de Fokker-Planck e considerar uma densidade de probabilidade em relação a posição e o tempo, levando em conta diferentes perturbações estocásticas. Para isso, iremos agora deduzir essa equação, a partir da analise de Langevin.
A descrição do movimento browniano foi anteriormente tratada em termos da equação
<math>
m\frac{d^2x}{dt^2} = -\gamma \frac{dx}{dt} + R(t)
</math>
onde <math>m</math> é a massa da partícula, <math>\gamma>0</math> é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e <math>R</math> é postulado a força de Langevin.
Para o nosso propósito, realizaremos uma abordagem mais direta e geral, assumindo a equação de Langevin através de um potencial <math>U(x)</math>, nos deixando com a seguinte expressão:
<math>
\frac{dx}{dt} = -\mu \frac{dU}{dx} + \eta(t),
</math>
onde <math>\mu=\frac{1}{6\pi\eta a}</math> e <math>\eta(t) = \mu R(t)</math>.
Contudo, para entender as equações diferenciais estocásticas, precisamos discretizar as equações para posteriormente aplicar os métodos numéricos. Temos que o sistema de discretização mais simples possível nos leva ao valor de <math>x</math> no tempo <math>t + \varepsilon</math> a partir da interação
<math>
x(t + \varepsilon) = x(t) - \mu\frac{dU}{dx}\varepsilon + \eta_\varepsilon(t).
</math>
A tarefa é compreender como o agora ruído gaussiano <math>\eta_{\varepsilon}(t)</math> afeta esse sistema discretizado. Para isso, escreveremos a evolução temporal da distribuição de probabilidade <math>P(x,t)</math> definida como a probabilidade da partícula estar em <math>x</math> no tempo <math>t</math>. Então, deve-se olhar para o limite <math>t \rightarrow \infty</math> de <math>P(x,t)</math>.
Vamos realizar a tarefa com a equação discretizada de Langevin comentada acima. Por razões de simplificação, discutiremos essa abordagem com a forma
<math>
x(t + \varepsilon) = x(t) + v(x) \varepsilon + \eta_{\varepsilon}(t)
</math>
onde <math>v(x) \equiv −\mu \frac{dU}{dx}</math>.
A equação da probabilidade <math>P(x,t)</math> pode ser derivada usando a equação de Chapman-Kolmogorov, a qual também iremos escrever em uma forma discretizada no tempo, da forma
<math>
P(x,t + \varepsilon) = \int_{-\infty}^{+\infty} W(x,y;\varepsilon) P(y,t) dy
</math>
onde <math>W(x,y; \varepsilon)</math> é a probabilidade de que a partícula se mova para <math>x</math> no instante <math>t + \varepsilon</math>, desde que tenha começado em <math>y</math> no instante <math>t</math>. Lembrando que: para que a condição acima mova a partícula de <math>y</math> a <math>x</math> no tempo <math>\varepsilon</math>, o termo de ruído deve ter apenas o valor correspondente que satisfaz a equação
<math>
x = y + v(y) \varepsilon + \eta_{\varepsilon}(t).
</math>


= Referências =
= Referências =
<references/>
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Edição das 20h28min de 1 de março de 2022

Grupo: Álison Soares, Rodrigo Avancini Lara e Samuel Huff Dieterich

A equação de Fokker-Planck foi aplicada em primeiro modo em problemas relacionados ao movimento Browniano, como veremos à seguir. Nesse caso, lidando com flutuações originadas de vários pequenos distúrbios, as partículas de interesse se chocavam com as moléculas do meio, provocando uma trajetória imprevisível. Por conta dessas flutuações, é impossível determinar a posição exata dessas partículas. Porém, é possível determinar a probabilidade de encontrá-las em determinada região.

Esta equação pode ser obtida a partir da equação de Langevin e fornece a probabilidade de encontrar determinada partícula em uma posição em certo instante . Além disso, no presente trabalho temos como objetivo estudar as soluções analítica e numérica da equação para um dado exemplo, através do método FTCS explícito.

Introdução

Movimento browniano

O movimento browniano foi descoberto pelo botanista Robert Brown, em 1827. Durante seu estudo sobre vida microscópica, ele percebeu pequenas partículas de pólen de plantas se movendo de maneira aleatória no líquido que ele estava estudando e, notando que se tratava de partículas de sujeira, e não seres vivos, chegou a conclusão que era um fenômeno físico, e não biológico, que causava este movimento. [1]

Posteriormente, foi provado que este fenômeno se dava pelos efeitos do movimento molecular. Em um meio com uma temperatura qualquer , há vibração e movimento molecular. Embora haja conservacão de energia, quando a partícula interage com as moléculas do meio, a energia cinética desta partícula se altera (assim como a das moléculas). Contudo, a soma destas energias é a energia interna do fluido, como descreve o Teorema da Equiparação. [2]

Em 1905, Albert Einstein propôs uma teoria para descrever tal movimento matematicamente. Primeiramente, ele se propôs a descrever o quão longe uma partícula browniana se desloca em um determinado intervalo de tempo. Como a partícula está sujeita a colisões por segundo (provindas das moléculas do meio), a mecânica clássica é incapaz de resolver este sistema [1][3]. Para resolver este problema, ele abordou o problema pela ótica da mecânica estatística.

Inicialmente, ele considerou o incremento da posição da partícula num espaço unidimensional (), num determinado intervalo de tempo (). Considerando que existe uma probabilidade aleatória da partícula se mover dentro do intervalo , ele definiu uma função para a densidade de probabilidade (). Sabendo que o número de partículas é constante dentro do meio, ele expandiu a densidade () deste em uma série de Taylor:

que é, por definição, . Continuando,

Pela definição da probabilidade,

e as integrais dos termos pares da série são nulos devido à simetria do espaço.

Temos então,


Esta equação nos leva à igualdade

Podemos interpretar a integral como o coeficiente de difusão :

O que nos dá a equação da difusão

Equação de Langevin

Em 1908, 3 anos após os estudos de Albert Einstein em processos aleatórios e movimento aleatório, Paul Langevin (1872-1946) apresentou um novo método para o movimento browniano que - segundo Langevin - era "infinitamente mais simples" que a solução proposta por Einstein. [4][5] Para interpretar o movimento browniano, Einstein derivou e resolveu uma equação diferencial parcial descrevendo a evolução temporal da densidade de probabilidade para a partícula. Já Langevin aplicou a segunda lei de Newton na forma diferencial para essa partícula.

Para uma partícula browniana de massa em um líquido com viscosidade , existem duas forças que agem sobre o seu movimento[5]:

1. Arrasto pela viscosidade. 2. Força de flutuação.

Considerando que a partícula é relativamente grande em comparação com as distâncias médias entre as moléculas do líquido e esta se movimento nesse meio com velocidade , experimenta uma resistência pela viscosidade. Essa força é descrita pela Lei de Stokes que, para uma partícula esférica com diâmetro , corresponde a .

A segunda força foi proposta por Langevin para descrever o efeito de constantes impactos das moléculas do líquido sobre as partículas de estudo. Assim, como essa força possui uma origem aleatório, esta deveria ser positiva ou negativa de maneira equiprovável e cuja magnitude fosse suficiente para manter a agitação da partícula. Caso contrário, a viscosidade iria parar o movimento dessa partícula.

Com isso, a equação que descreve o movimento a partir da posição da partícula - em 1D na direção - é dado pela Lei de Newton como:

onde é a massa da partícula, é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e é postulado a força de Langevin representando as flutuações de pressão devido ao movimento térmico das moléculas que compõem o líquido. [6]

Essa equação é conhecida como a equação de Langevin e foi o primeiro exemplo de equação diferencial estocástica, isto é, uma equação diferencial com um termo, nesse caso, cuja solução em algum sentido também é uma função aleatória [5]:. Essa função foi desenvolvida para possuir as seguintes propriedades:

onde descreve o valor médio ou esperado de uma função , é o coeficiente de difusão e é a função delta.

A primeira propriedade afirma que o movimento é aleatório de forma que não existe nenhuma tendência de sentido para a partícula se locomover. Assim, é dito que se trata de um ruído branco gaussiano. Já a segunda propriedade mostra que a força em um dado tempo é descorrelacionada de uma força para qualquer outro tempo (propriedade de Markov). [7]

Dedução da equação de Fokker-Planck

Como vimos anteriormente, o movimento browniano pode ser descrito pela equação de Langevin, a qual podemos resolver sem nenhum problema. Contudo, alternativamente, podemos fazer uso da equação de Fokker-Planck e considerar uma densidade de probabilidade em relação a posição e o tempo, levando em conta diferentes perturbações estocásticas. Para isso, iremos agora deduzir essa equação, a partir da analise de Langevin.

A descrição do movimento browniano foi anteriormente tratada em termos da equação

onde é a massa da partícula, é o coeficiente de fricção devido a viscosidade do líquido e é postulado a força de Langevin.

Para o nosso propósito, realizaremos uma abordagem mais direta e geral, assumindo a equação de Langevin através de um potencial , nos deixando com a seguinte expressão:

onde e .

Contudo, para entender as equações diferenciais estocásticas, precisamos discretizar as equações para posteriormente aplicar os métodos numéricos. Temos que o sistema de discretização mais simples possível nos leva ao valor de no tempo a partir da interação

A tarefa é compreender como o agora ruído gaussiano afeta esse sistema discretizado. Para isso, escreveremos a evolução temporal da distribuição de probabilidade definida como a probabilidade da partícula estar em no tempo . Então, deve-se olhar para o limite de . Vamos realizar a tarefa com a equação discretizada de Langevin comentada acima. Por razões de simplificação, discutiremos essa abordagem com a forma

onde Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle v(x) \equiv −\mu \frac{dU}{dx}} .

A equação da probabilidade pode ser derivada usando a equação de Chapman-Kolmogorov, a qual também iremos escrever em uma forma discretizada no tempo, da forma

onde é a probabilidade de que a partícula se mova para no instante , desde que tenha começado em no instante . Lembrando que: para que a condição acima mova a partícula de a no tempo , o termo de ruído deve ter apenas o valor correspondente que satisfaz a equação

Referências

  1. 1,0 1,1 The Brownian Movement, The Feynman Lectures on Physics. URL: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html.
  2. The Equipartition Theorem, University of Oxford. URL: http://vallance.chem.ox.ac.uk/pdfs/Equipartition.pdf.
  3. Stachel, J., et al.; The Collected Papers of Albert Einstein, 1989, Princeton University Press. URL: http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/eins_brownian.pdf.
  4. P. Langevin, "Sur la théorie de mouvement Brownien" C.R. Acad. Sci. Paris , 146 (1908) pp. 530–533, https://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/Langevin1908.pdf.
  5. 5,0 5,1 5,2 Gardiner, C.W. (1985). Handbook of stochastic methods - for physics, chemistry and the natural sciences, Second Edition. Springer series in synergetics.
  6. Langevin equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Langevin_equation&oldid=47575.
  7. Wikipédia: Langevin equation. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Langevin_equation.