Equação de Cahn-Hilliard: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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Linha 24: Linha 24:
\mu_b - \mu_a = \frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c}
\mu_b - \mu_a = \frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c}
</math>
</math>
Agora utilizando a equação (2) podemos transfomar (3) em:
Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:
:<math>
:<math>
J = -M\nabla\frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c}
J = -M\nabla\frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c}
Linha 31: Linha 31:
:<math>
:<math>
\frac{\partial c(x,t)}{\partial t} = -\nabla . J
\frac{\partial c(x,t)}{\partial t} = -\nabla . J
</math>
Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:
:<math>
\frac{\partial c(x,t)}{\partial t} = \nabla M\nabla\frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c}
</math>
</math>


== Método FTCS (Forward Time Centered Space) ==
== Método FTCS (Forward Time Centered Space) ==

Edição das 17h01min de 29 de março de 2021

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanetti, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas densidades e , respectivamente. Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração :

Tendo isso em vista, o fluxo correspondente pode ser determinado como:

Onde é um coeficiente de mobilidade e e são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais em função da variação de um potencial de energia livre que chamaremos de :

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

Método FTCS (Forward Time Centered Space)