Equação de Cahn-Hilliard: mudanças entre as edições

De Física Computacional
Ir para navegação Ir para pesquisar
Linha 58: Linha 58:
Onde <math>g</math> é a densidade de energia livre de Gibbs e <math>c</math> é a concentração.
Onde <math>g</math> é a densidade de energia livre de Gibbs e <math>c</math> é a concentração.


Tendo em vista a substituição do termo <math>\mu</math> pela concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração:
Tendo em vista a substituição do termo <math>\mu</math> por um termo que envolve a concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração dos mesmos:


:<math>
:<math>
Linha 66: Linha 66:
Nesse caso, <math>F</math> é a energia livre de Gibbs, <math>f(c)</math> é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e <math>{\kappa|\nabla c|}^2</math> é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).
Nesse caso, <math>F</math> é a energia livre de Gibbs, <math>f(c)</math> é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e <math>{\kappa|\nabla c|}^2</math> é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).


A função <math>f(c)</math> tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:
Além disso, a função <math>f(c)</math> tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:
:<math>
:<math>
f(c) = \frac{(c^2 - 1)^2}{4}
f(c) = \frac{(c^2 - 1)^2}{4}
</math>
</math>
Utilizando um parâmetro <math>\epsilon</math> análogo à largura da interface, que é descrito por <math>\kappa = \epsilon ^2</math>


== Método FTCS (Forward Time Centered Space) ==
== Método FTCS (Forward Time Centered Space) ==

Edição das 18h58min de 29 de março de 2021

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.

Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos e , respectivamente.

Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração :

Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:

juntamente da equação da continuidade:

Onde é o coeficiente de difusão e é o fluxo de difusão. Em seguida, ao combinarmos ambas as equações anteriores o resultado gera a segunda lei de Fick da difusão:

Por definição, verificou-se que a concentração não poderia ser a razão da difusão, portanto outra força estaria presente. E, nesse caso, encontrou-se que a principal força responsável pela difusão negativa é o potencial químico. Portanto, outra equação pode ser derivada para generalizar a primeira lei de Fick:

Onde é a mobilidade das partículas (análoga à D) e é o potencial químico. Com essa nova equação podemos agora também deduzir uma nova equação para a segunda lei de Fick:

Essa equação também é conhecida como equação de Cahn-Hilliard

Nessa equação, podemos usar a definição do potencial químico através da densidade de energia livre de Gibbs como:

Onde é a densidade de energia livre de Gibbs e é a concentração.

Tendo em vista a substituição do termo por um termo que envolve a concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração dos mesmos:

Nesse caso, é a energia livre de Gibbs, é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).

Além disso, a função tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:

Utilizando um parâmetro análogo à largura da interface, que é descrito por

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

FTCS Explicito

Para difusão:

FTCS Implicito (BTCS)


Para difusão:


Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:


Condição de Estabilidade

Referências