Discretização x Leapfrog

A discretização de segunda ordem da equação da onda é dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{U_i^{n+1}-2U_i^n+U_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}}

e pode ser reescrita para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_i^{n+1}} como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_i^{n+1} = 2(1-r^2)U_i^n + r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1},}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.}

Utilizando as equações de $s$ e $k$ obtidas da dedução do método de Leapfrog, podemos escrever:

$U_{i}^{n+1}=s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}\qquad (1),$

$s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n}-U_{i}^{n-1}}{\Delta t}},\qquad (2)$

$k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{\Delta x}},\qquad (3)$

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i+1}^{n}-U_{i}^{n}}{\Delta x}}\qquad (4)$

e

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}=s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}+r(k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}-k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n}).\qquad (5)$

Substituindo as equações (2), (3) e (4) em (5), obtemos:

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n}-U_{i}^{n-1}}{\Delta t}}+{\frac {v^{2}\Delta t}{\Delta x}}(U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}-2U_{i}^{n}).\qquad (6)$

Por fim, substituindo a equação (6) na equação (1), obtemos

$U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-U_{i}^{n+1}+{\frac {v^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}(U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}-2U_{i}^{n})+U_{i}^{n},$

de onde podemos obter a mesma expressão que a discretização de segunda ordem da equação da onda nos dá:

$U_{i}^{n+1}=2(1-r^{2})U_{i}^{n}+r^{2}[U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-U_{i}^{n-1}.$