Cálculo do tempo de colisão com aceleração

Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: $| {\vec{r}}_{i} (t + d t) - {\vec{r}}_{j} (t + d t) | = σ$ , e que ${\vec{r}}_{i} (t + d t) = {\vec{r}}_{i} + {\vec{v}}_{i} d t + \vec{g} \frac{d t^{2}}{2}$ e ${\vec{r}}_{j} (t + d t) = {\vec{r}}_{j} + {\vec{v}}_{j} d t + \vec{g} \frac{d t^{2}}{2}$ , podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:
$({\vec{r}}_{i} (t + d t) - {\vec{r}}_{j} (t + d t))^{2} = σ^{2}$

${\vec{r}}_{i}^{2} + {\vec{v}}_{i}^{2} d t^{2} + {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{4} + 2 {\vec{r}}_{i} {\vec{v}}_{i} d t + 2 {\vec{r}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{v}}_{i} \frac{d t^{3}}{2} - 2 ({\vec{r}}_{i} + {\vec{v}}_{i} d t + \vec{g} \frac{d t^{2}}{2}) ({\vec{r}}_{j} + {\vec{v}}_{j} d t + \vec{g} \frac{d t^{2}}{2}) + {\vec{r}}_{j}^{2} + {\vec{v}}_{j}^{2} d t^{2} + {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{4} + 2 {\vec{r}}_{j} {\vec{v}}_{j} d t + 2 {\vec{r}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{v}}_{j} \frac{d t^{3}}{2} = σ^{2}$

${\vec{r}}_{i}^{2} + {\vec{v}}_{i}^{2} d t^{2} + {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{2} + 2 {\vec{r}}_{i} {\vec{v}}_{i} d t + 2 {\vec{r}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{v}}_{i} \frac{d t^{3}}{2} - 2 {\vec{r}}_{i} {\vec{r}}_{j} - 2 {\vec{r}}_{i} {\vec{v}}_{j} d t - 2 {\vec{r}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} - 2 {\vec{r}}_{j} {\vec{v}}_{i} d t - 2 {\vec{v}}_{i} {\vec{v}}_{j} d t^{2} - 2 {\vec{v}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} - 2 {\vec{r}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} - 2 {\vec{v}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} - {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{2} + {\vec{r}}_{j}^{2} + {\vec{v}}_{j}^{2} d t^{2} + 2 {\vec{r}}_{j} {\vec{v}}_{j} d t + 2 {\vec{r}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{v}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} = σ^{2}$

Reajeitando os termos antes da simplificação final:
${\vec{r}}_{i}^{2} - 2 {\vec{r}}_{i} {\vec{r}}_{j} + {\vec{r}}_{j}^{2} + {\vec{v}}_{i}^{2} d t^{2} - 2 {\vec{v}}_{i} {\vec{v}}_{j} d t^{2} + {\vec{v}}_{j}^{2} d t^{2} + {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{2} - {\vec{g}}^{2} \frac{d t^{4}}{2} + 2 {\vec{r}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} - 2 {\vec{r}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{v}}_{i} \frac{d t^{3}}{2} - 2 {\vec{v}}_{i} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} - 2 {\vec{r}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} + 2 {\vec{r}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{2}}{2} - 2 {\vec{v}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} + 2 {\vec{v}}_{j} \vec{g} \frac{d t^{3}}{2} + 2 {\vec{r}}_{i} ({\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j}) d t - 2 {\vec{r}}_{j} ({\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j}) d t = σ^{2}$

Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o $d t_{m i n}$ , onde ficou definido $Δ \vec{r} = {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}$ e $Δ \vec{v} = {\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j}$ na seção anterior:
$({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j})^{2} + ({\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j})^{2} d t^{2} + 2 ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j}) ({\vec{v}}_{i} - {\vec{v}}_{j}) d t - σ^{2} = 0$

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