Algoritmo de Wang-Landau

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica a uma dada temperatura , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia .

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados não pode ser determinada para sistemas maiores . Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a a partir de um passeio aleatório. A estimativa para é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir para todas as energias possíveis . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia é visitada, o histograma é incrementado em 1. A estimativa de é então modificada por um fator multiplicativo , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de .

Se e são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia para é dada por

A razão das probabilidades de transição de para e de a podem ser calculados como

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

onde é a probabilidade na energia e é a probabilidade de transição de para .

Se o estado de energia é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação de maneira que e a entrada no histograma para é atualizada de forma . Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação, e é atualizada de forma .

Em geral, como se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, . Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por . O valor comumente utilizado para o fator de modificação é .

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma estar "reto" (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada iterações verificamos se todos valores possíveis de estão a uma distância, no máximo, de . A variável é denominada "flatness".

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Seto e um fator de modificação ;

2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade ;

3. Modifico a densidade de estados e atualizo o histograma ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de e reseto o valor de ;

5. Repito 2-4 até .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo.

Cada sítio pode ter o valor de spin ou .

O hamiltoniano pode ser calculado por

A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para e antiferromagnética para .

Resultados