MBA: Gás simples

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Colisão entre partículas

Considerando um modelo simples de gás ideal, não há força atuando sob as partículas, então a interação que ocorre entre as partículas se dá apenas por meio de colisões. Assim é necessário calcular a variação na velocidade de cada partícula após a colisão. Começando em uma dimensão, precisamos garantir a conservação do momento:

$$m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=m_{1}v_{1}''+m_{2}v_{2}''$$

E da energia cinética:

$${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}''^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}''^{2}$$

Colocando o referencial de forma que ${\textstyle v_{2}'=0}$, então as velocidades no novo referencial podem ser escritas como ${\textstyle u_{i}=v_{i}-v_{2}'}$, de forma que da conservação do momento ficamos com:

$$u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{2}'',\qquad (1)$$

Elevando ao quadrado:

$$u_{1}''^{2}=u_{1}'^{2}-\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''$$

Substituindo na equação de conservação de energia, podemos encontrar ${\textstyle u_{2}''}$:

$${\begin{array}{c}m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}''^{2}+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}\left[u_{1}'{}^{2}+\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''\right]+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}'{}^{2}+{\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}u_{2}''^{2}-2m_{2}u_{1}'u_{2}''+m_{2}u_{2}''^{2}\\0=\left({\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}+m_{2}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2m_{2}u_{1}'\right)u_{2}''\\0=\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2u_{1}'\right)u_{2}''\end{array}}$$

Calculando as raízes do segundo grau, temos:

$$u_{2}''={\frac {2u_{1}'\pm {\sqrt {4u_{1}'^{2}}}}{2\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)}}={\frac {m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(u_{1}'\pm u_{1}'\right)$$

E como uma solução é ${\textstyle u_{2}'=0}$, mas queremos a situação em que ${\textstyle u_{2}'\neq 0}$, logo:

$$u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Substituindo em (1), temos:

$${\begin{array}{c}u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\left({\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\right)\\u_{1}''=\left(1-{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\\u_{1}''=\left({\frac {m_{2}+m_{1}-2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\end{array}}$$

Ou seja:

$$u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Retornando ao referencial original, sendo ${\textstyle v_{i}=u_{i}+v_{2}'}$, temos então para ${\textstyle v_{1}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{1}''-v_{2}'={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

E de maneira análoga para ${\textstyle v_{2}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{2}''-v_{2}'={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

Um caso especial ocorre se ${\textstyle m_{1}=m_{2},\qquad (2)}$ então temos simplesmente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_1''=v_2',\qquad \text{e} \qquad v_2''=v_1'} Em duas dimensões, podemos reduzir o problema a uma dimensão, considerando que toda a alteração na velocidade devido a colisão entre partículas ocorre apenas na componente paralela a reta que liga o centro das duas esferas. Considerando que a posição de cada partícula é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{r}_{i}} , então um vetor entre as partículas pode ser escrito como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{d}=\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1}} . Podemos projetar ambas as velocidades então fazendo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {u}_{i}'=\frac{\overrightarrow{v}_{i}\cdot\overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{d}\right|}=\overrightarrow{v}_{i}\cdot\widehat{d}} Obtemos o módulo da velocidade da partícula Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle i} na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{d}} e podemos trabalhar em uma única dimensão para encontrarmos a velocidade de ambas partículas após a colisão nesta dimensão. Ao fim podemos decompor novamente a velocidade final Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle u_i''} em ambos os eixos mantendo a mesma direção utilizando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \theta=\arctan\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Delta z = z_2 - z_1} é a diferença entre a posição das partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 1} na componente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle z} .

Além disso vale lembrar que há a componente da velocidade perpendicular a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{d}} , que vamos denotar como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{w}_i=\overrightarrow{v}_i-u_{i}'\left(\cos\theta,\sin\theta\right)} . Esta componente perpendicular permanece inalterada e pode ser visualizada na figura ao lado.

Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula 1.

Sendo assim, a velocidade final é dada por: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\left(u_{i}''\cos\theta,u_{i}''\sin\theta\right)+\overrightarrow{w}_{i}\\ \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=u_{i}''\left(\cos\theta,\sin\theta\right)+\overrightarrow{v}_{i}-u_{i}'\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\ \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\ \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\overrightarrow{a} \end{array}} Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{a}} é um vetor unitário que nos dá a direção entre os centros das partículas. Utilizando ad identidades: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\arctan\left(x\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, \qquad \sin\left(\arctan\left(x\right)\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} ficamos então com: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} \overrightarrow{a}=\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\\ \overrightarrow{a}=\left(\cos\arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right),\sin\arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)\right)\\ \overrightarrow{a}=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)^{2}}},\frac{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}}\right)\\ \overrightarrow{a}=\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta{y}}{\Delta x}\right)^{2}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\\ \overrightarrow{a}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta x}}\frac{1}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}\left(\Delta x,\Delta y\right) \end{array}} Logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a} =\frac{\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}} E uma vez que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{d}=\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)=\left(\Delta x,\Delta y\right)} , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \overrightarrow{a}= \overrightarrow{d}/\left|d\right|= \widehat{d}} . Logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)}=\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\widehat{d}} Ou ainda mais explícito, se fizermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle m_1=m_2} , sendo as partículas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle j} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle i\neq j} , usando (2): Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{cc} \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} & =\overrightarrow{v}_{i}+\left(u_{j}'-u_{i}'\right)\widehat{d}\\ \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} & =\overrightarrow{v}_{i}+\left(\overrightarrow{v}_{j}\cdot\widehat{d}-\overrightarrow{v}_{i}\cdot\widehat{d}\right)\widehat{d} \end{array}} Temos então que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{v}_{i}^{\left(f\right)} =\overrightarrow{v}_{i}+\left[\left(\overrightarrow{v}_{j}-\overrightarrow{v}_{i}\right)\cdot\widehat{d}\right]\widehat{d}} Todo o cálculo exibido foi para uma partícula, para a segunda partícula, o cálculo é análogo.

Código

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