MBA: Gás simples

Anterior: Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos | Índice: Ecologia | Próximo: MBA: Caminhante aleatório

Colisão entre partículas

Considerando um modelo simples de gás ideal, não há força atuando sob as partículas, então a interação que ocorre entre as partículas se dá apenas por meio de colisões. Assim é necessário calcular a variação na velocidade de cada partícula após a colisão. Começando em uma dimensão, precisamos garantir a conservação do momento: $$m_1{v}_{1^{\prime }}+m_2{v}_{2^{\prime }}=m_1{v}_{1^{″}}+m_2{v}_{2^{″}}$$E da energia cinética: $$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1{\text{'}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2{\text{'}}^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1^{\prime }}{\text{'}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2$$Colocando o referencial de forma que ${v_2}^{\prime }=0$, então as velocidades no novo referencial podem ser escritas como $u_i=v_i-{v_2}^{\prime }$, de forma que da conservação do momento ficamos com: $$u_{1^{″}}=u_{1^{\prime }}-\frac{m_2}{m_1}{u}_{2^{″}},(1)$$ Elevando ao quadrado: $$u_{1^{\prime }}{\text{'}}^2=u_1{\text{'}}^2-{\left(\frac{m_2}{m_1}\right)}^2{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2-2\frac{m_2}{m_1}{u}_{1^{\prime }}{u}_{2^{″}}$$ Substituindo na equação de conservação de energia, podemos encontrar ${u_2}^{″}$: $$\begin{array}{c}{m}_1{u}_1{\text{'}}^2=m_1{u}_{1^{\prime }}{\text{'}}^2+m_2{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2\\ m_1{u}_1{\text{'}}^2=m_1[u_{1^{\prime }}{}^2+{\left(\frac{m_2}{m_1}\right)}^2{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2-2\frac{m_2}{m_1}{u}_{1^{\prime }}{u}_{2^{″}}]+m_2{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2\\ m_1{u}_1{\text{'}}^2=m_1{u}_{1^{\prime }}{}^2+\frac{m_2^2}{m_1}{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2-2m_2{u}_{1^{\prime }}{u}_{2^{″}}+m_2{u}_{2^{\prime }}{\text{'}}^2\\ 0=(\frac{m_2^2}{m_1}+m_2)u_{2^{\prime }}{\text{'}}^2+(-2m_2{u}_{1^{\prime }})u_{2^{″}}\\ 0=\left(\frac{m_2+m_1}{m_1}\right)u_{2^{\prime }}{\text{'}}^2+(-2u_{1^{\prime }})u_{2^{″}}\end{array}$$ Calculando as raízes do segundo grau, temos: $$u_{2^{″}}=\frac{2u_{1^{\prime }}\pm \sqrt{4u_1{\text{'}}^2}}{2\left(\frac{m_2+m_1}{m_1}\right)}=\frac{m_1}{m_2+m_1}(u_{1^{\prime }}\pm u_{1^{\prime }})$$E como uma solução é $u_{2^{\prime }}=0$, mas queremos a situação em que $u_{2^{\prime }}\ne 0$, logo: $$u_{2^{″}}=\frac{2m_1}{m_2+m_1}{u}_{1^{\prime }}$$Substituindo em (1), temos: $$\begin{array}{c}{u}_{1^{″}}=u_{1^{\prime }}-\frac{m_2}{m_1}\left(\frac{2m_1}{m_2+m_1}{u}_{1^{\prime }}\right)\\ u_{1^{″}}=(1-\frac{2m_2}{m_2+m_1})u_1\\ u_{1^{″}}=\left(\frac{m_2+m_1-2m_2}{m_2+m_1}\right)u_1\end{array}$$ Ou seja: $$u_{1^{″}}=\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}{u}_{1^{\prime }}$$Retornando ao referencial original, sendo $v_i=u_i+{v_2}^{\prime }$, temos então para ${v_1}^{\prime }$: $$\begin{array}{c}{u}_{1^{″}}=\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}{u}_{1^{\prime }}\\ v_{1^{″}}-v_{2^{\prime }}=\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}(v_{1^{\prime }}-v_{2^{\prime }})\\ v_{1^{″}}=\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}{v}_{1^{\prime }}+(1-\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1})v_{2^{\prime }}\\ v_{1^{″}}=\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}{v}_{1^{\prime }}+\frac{2m_2}{m_2+m_1}{v}_{2^{\prime }}\end{array}$$E de maneira análoga para ${v_2}^{\prime }$: $$\begin{array}{c}{u}_{2^{″}}=\frac{2m_1}{m_2+m_1}{u}_{1^{\prime }}\\ v_{2^{″}}-v_{2^{\prime }}=\frac{2m_1}{m_2+m_1}(v_{1^{\prime }}-v_{2^{\prime }})\\ v_{2^{″}}=\frac{2m_1}{m_2+m_1}{v}_{1^{\prime }}+(1-\frac{2m_1}{m_2+m_1})v_{2^{\prime }}\\ v_{2^{″}}=\frac{2m_1}{m_2+m_1}{v}_{1^{\prime }}+\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}{v}_{2^{\prime }}\end{array}$$Um caso especial ocorre se $m_1=m_2,(2)$ então temos simplesmente: $${v_1}^{″}={v_2}^{\prime },\text{e}{v_2}^{″}={v_1}^{\prime }$$Em duas dimensões, podemos reduzir o problema a uma dimensão, considerando que toda a alteração na velocidade devido a colisão entre partículas ocorre apenas na componente paralela a reta que liga o centro das duas esferas. Considerando que a posição de cada partícula é dada por ${\overrightarrow{r}}_i$, então um vetor entre as partículas pode ser escrito como $\overrightarrow{d}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$. Podemos projetar ambas as velocidades então fazendo: $$u_{i^{\prime }}=\frac{{\overrightarrow{v}}_i\cdot \overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{d}\right|}={\overrightarrow{v}}_i\cdot \hat{d}$$Obtemos o módulo da velocidade da partícula $i$ na direção $\overrightarrow{d}$ e podemos trabalhar em uma única dimensão para encontrarmos a velocidade de ambas partículas após a colisão nesta dimensão. Ao fim podemos decompor novamente a velocidade final ${u_i}^{″}$ em ambos os eixos mantendo a mesma direção utilizando $\theta =\arctan \left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)$, onde $\mathrm{\Delta }z=z_2-z_1$ é a diferença entre a posição das partículas $2$ e $1$ na componente $z$.

Além disso vale lembrar que há a componente da velocidade perpendicular a $\overrightarrow{d}$, que vamos denotar como ${\overrightarrow{w}}_i={\overrightarrow{v}}_i-u_{i^{\prime }}(\cos \theta ,\sin \theta )$. Esta componente perpendicular permanece inalterada e pode ser visualizada na figura ao lado.

Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula 1.

Sendo assim, a velocidade final é dada por: $$\begin{array}{c}{\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}=(u_{i^{″}}\cos \theta ,u_{i^{″}}\sin \theta )+{\overrightarrow{w}}_i\\ {\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}=u_{i^{″}}(\cos \theta ,\sin \theta )+{\overrightarrow{v}}_i-u_{i^{\prime }}(\cos \theta ,\sin \theta )\\ {\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}={\overrightarrow{v}}_i+(u_{i^{″}}-u_{i^{\prime }})(\cos \theta ,\sin \theta )\\ {\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}={\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}={\overrightarrow{v}}_i+(u_{i^{″}}-u_{i^{\prime }})\overrightarrow{a}\end{array}$$Onde $\overrightarrow{a}$ é um vetor unitário que nos dá a direção entre os centros das partículas. Utilizando ad identidades: $$\cos (\arctan \left(x\right))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\sin (\arctan \left(x\right))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$ ficamos então com: $$\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=(\cos \theta ,\sin \theta )\\ \overrightarrow{a}=(\cos \arctan \left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right),\sin \arctan \left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right))\\ \overrightarrow{a}=(\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)}^2}},\frac{\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)}{\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)}^2}})\\ \overrightarrow{a}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)}^2}}(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\\ \overrightarrow{a}=\frac{1}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\end{array}$$Logo: $$\overrightarrow{a}=\frac{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}$$ E uma vez que $\overrightarrow{d}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)$, então $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{d}/\left|d\right|=\hat{d}$. Logo: $${\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}={\overrightarrow{v}}_i+(u_{i^{″}}-u_{i^{\prime }})\hat{d}$$Ou ainda mais explícito, se fizermos $m_1=m_2$, sendo as partículas $i$ e $j$, onde $i\ne j$, usando (2): $$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}& ={\overrightarrow{v}}_i+(u_{j^{\prime }}-u_{i^{\prime }})\hat{d}\\ {\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}& ={\overrightarrow{v}}_i+({\overrightarrow{v}}_j\cdot \hat{d}-{\overrightarrow{v}}_i\cdot \hat{d})\hat{d}\end{array}$$ Temos então que: $${\overrightarrow{v}}_i^{\left(f\right)}={\overrightarrow{v}}_i+[({\overrightarrow{v}}_j-{\overrightarrow{v}}_i)\cdot \hat{d}]\hat{d}$$Todo o cálculo exibido foi para uma partícula, para a segunda partícula, o cálculo é análogo.

Código

Anterior: Por que usar e o que são modelos baseados em indivíduos | Índice: Ecologia | Próximo: MBA: Caminhante aleatório