Modelo Brusselator de Reação-Difusão

Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizem reações de reação-difusão.

(...)

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:

$\frac{\partial f(x,y,t)}{\partial t}\to \frac{f(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-f(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{t}^2)$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y,t)}{\partial x^2}\to \frac{f(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{x}^3)$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y,t)}{\partial y^2}\to \frac{f(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{y}^3)$

Substituindo nas equações do Brusselator

$\frac{u(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-u(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}=f(u,v)+D_u(\frac{u(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2u(x,y,t)+u(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+\frac{u(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2u(x,y,t)+u(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$

$\frac{v(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-v(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}=g(u,v)+D_v(\frac{v(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2v(x,y,t)+v(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+\frac{v(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2v(x,y,t)+v(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$

onde $f(u,v)$ e $g(u,v)$ são as funções que representam a reação sem difusão.

Utilizamos discretização do tipo

$t=0,1\mathrm{\Delta }t,2\mathrm{\Delta }t,3\mathrm{\Delta }t,...,t_{max}$

$x=0,1\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,3\mathrm{\Delta }x,...,N_x$

$y=0,1\mathrm{\Delta }y,2\mathrm{\Delta }y,3\mathrm{\Delta }y,...,N_y$

Utilizando a notação $f(i\mathrm{\Delta }x,j\mathrm{\Delta }y,n\mathrm{\Delta }t)=f_{i,j}^n$, assumindo $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }s$ e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^n+f(u_{i,j}^n,v_{i,j}^n)\mathrm{\Delta }t+K_u(u_{i-1,j}^n+u_{i+1,j}^n+u_{i,j-1}^n+u_{i,j+1}^n-4u_{i,j}^n)$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^n+g(u_{i,j}^n,v_{i,j}^n)\mathrm{\Delta }t+K_v(v_{i-1,j}^n+v_{i+1,j}^n+v_{i,j-1}^n+v_{i,j+1}^n-4v_{i,j}^n)$

onde $K_u=\frac{D_u\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}$ e $K_v=\frac{D_v\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}$.