Modelo Brusselator de Reação-Difusão

Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizem reações de reação-difusão.

(...)

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:

${\frac {\partial f(x,y,t)}{\partial t}}\to {\frac {f(x,y,t+\Delta t)-f(x,y,t)}{\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})$

${\frac {\partial ^{2}f(x,y,t)}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f(x-\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x+\Delta x,y,t)}{(\Delta x)^{2}}}+{\mathcal {O}}(\Delta x^{3})$

${\frac {\partial ^{2}f(x,y,t)}{\partial y^{2}}}\to {\frac {f(x,y-\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y+\Delta y,t)}{(\Delta y)^{2}}}+{\mathcal {O}}(\Delta y^{3})$

Substituindo nas equações do Brusselator

${\frac {u(x,y,t+\Delta t)-u(x,y,t)}{\Delta t}}=f(u,v)+D_{u}\left({\frac {u(x-\Delta x,y,t)-2u(x,y,t)+u(x+\Delta x,y,t)}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {u(x,y-\Delta y,t)-2u(x,y,t)+u(x,y+\Delta y,t)}{(\Delta y)^{2}}}\right)$

${\frac {v(x,y,t+\Delta t)-v(x,y,t)}{\Delta t}}=g(u,v)+D_{v}\left({\frac {v(x-\Delta x,y,t)-2v(x,y,t)+v(x+\Delta x,y,t)}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {v(x,y-\Delta y,t)-2v(x,y,t)+v(x,y+\Delta y,t)}{(\Delta y)^{2}}}\right)$

onde $f(u,v)$ e $g(u,v)$ são as funções que representam a reação sem difusão.

Utilizamos discretização do tipo

$t=0,1\Delta t,2\Delta t,3\Delta t,...,t_{max}$

$x=0,1\Delta x,2\Delta x,3\Delta x,...,N_{x}$

$y=0,1\Delta y,2\Delta y,3\Delta y,...,N_{y}$

Utilizando a notação $f(i\Delta x,j\Delta y,n\Delta t)=f_{i,j}^{n}$, assumindo $\Delta x=\Delta y=\Delta s$ e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+f(u_{i,j}^{n},v_{i,j}^{n})\Delta t+K_{u}(u_{i-1,j}^{n}+u_{i+1,j}^{n}+u_{i,j-1}^{n}+u_{i,j+1}^{n}-4u_{i,j}^{n})$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+g(u_{i,j}^{n},v_{i,j}^{n})\Delta t+K_{v}(v_{i-1,j}^{n}+v_{i+1,j}^{n}+v_{i,j-1}^{n}+v_{i,j+1}^{n}-4v_{i,j}^{n})$

onde $K_{u}={\frac {D_{u}\Delta t}{(\Delta s)^{2}}}$ e $K_{v}={\frac {D_{v}\Delta t}{(\Delta s)^{2}}}$.