Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , a reação pode ser representada como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u + 2v \to 3v}

Isso significa que uma molécula da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} é transformada em uma molécula da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} por meio da ação de outras duas moléculas da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3v \to u + 2v} ) não ocorre. Há reposição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} a uma taxa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} (taxa de alimentação, feed rate) e remoção de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} a uma taxa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k} , mais rápida do que a reposição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} .

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial{u}}{\partial{t}} & = - uv^2 + F(1-u) + D_u\nabla^2u\\ \frac{\partial{v}}{\partial{t}} & = uv^2 - (F+k)v + D_v\nabla^2v \quad (1)\\ \end{align}}

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k} e dos coeficientes de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}, D_{v}} das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0} nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u} = D_{v} = 0} ), obtém-se o seguinte sistema de equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} - & uv^2 + F(1-u) = 0\\ & uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\ \end{align}}

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v }

onde definiu-se o parâmetro auxiliar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F+k}{F}} .

Substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k =\gamma F} ), ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0}

Evidentemente, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = 0} é solução dessa equação, implicando em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = 1} , como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq 0} , podemos dividir a expressão acima por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , ficando com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\gamma v^2 + v - \gamma F = 0} . Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Disso, pela relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = 1 - \gamma v } , temos que os valores correspondentes para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - 4\gamma^2 F \geq 0} ). Por consequência:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2} , para que existam as soluções não-triviais.

Portanto, há três soluções estacionárias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} do sistema:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} = 0 \\ & u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) \\ & u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) \\ \end{align}}

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i}(u,v)} . Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v} . A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u,v) = \begin{bmatrix}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -v^2 -F& -2uv\\ v^2 & 2uv - (F+k)\end{bmatrix}}

Analisemos a estabilidade para os três pares Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{i},v^{*}_{i})} de soluções estacionárias:

• Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = (1, 0)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u^{*}_{0},v^{*}_{0}) = \begin{bmatrix}-F& 0\\ 0 & -(F+k)\end{bmatrix}}

Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores $\lambda _{i}$ são justamente as entradas das diagonais; ou seja, $\lambda _{1}=-F$ e $\lambda _{2}=-(F+k)$. Uma vez que $F$ e $k$ são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto $(u_{0}^{*},v_{0}^{*})$ é sempre estável.

• Para $(u_{1,2}^{*},v_{1,2}^{*})=\left({\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}}),{\frac {1}{2\gamma }}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})\right)$, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com $v\neq 0$. Desse modo, se dividirmos tal equação por $v$, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

$u_{i}^{*}v_{i}^{*}-(F+k)=0$

Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

$-2u_{i}^{*}v_{i}^{*}=-2(F+k)$

$2u_{i}^{*}v_{i}^{*}-(F+k)=(F+k)$

Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

$J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})={\begin{bmatrix}-(v_{i}^{*})^{2}-F&-2(F+k)\\(v_{i}^{*})^{2}&(F+k)\end{bmatrix}},\quad i=1,2.$

Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

$\Delta _{i}:=\operatorname {det} \left(J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})\right)=(F+k)\left[(v_{i}^{*})^{2}-F\right]$

Dividindo por $F(F+k)$:

${\frac {\Delta _{i}}{F(F+k)}}={\frac {(v_{i}^{*})^{2}}{F}}-1=\left[{\frac {1\mp {\sqrt {1-4(\gamma {\sqrt {F}})^{2}}}}{2(\gamma {\sqrt {F}})}}\right]^{2}-1=\left[{\frac {1\mp {\sqrt {1-4a^{2}}}}{2a}}\right]^{2}-1$

onde se definiu $a=\gamma {\sqrt {F}}$ (observação: este é o $\gamma$ definido no Gros). Nota-se que a condição de existência $a^{2}\leq 1/4$ para os dois pontos não-triviais é equivalente a $F\geq 4(F+k)^{2}$. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

${\frac {\Delta _{i}}{F(F+k)}}={\frac {\sqrt {1-4a^{2}}}{2a^{2}}}\left({\sqrt {1-4a^{2}}}\mp 1\right)$

• Para o caso $i=1$ (sinal negativo), temos a cota superior $1-4a^{2}<1$. Portanto, $\Delta _{1}<0$ para todo $a$ que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais (comentário: como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto $(u_{1}^{*},v_{1}^{*})$ nunca seja estável. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

• Já para $i=2$ (sinal positivo), temos sempre que $\Delta _{2}>0$. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores $\lambda _{i}$ são complexos, eles serão conjugados e o traço será $\operatorname {Tr} (J_{R})=2\operatorname {Re} (\lambda _{i})$, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável.

No caso, temos que $\operatorname {Tr} (J_{R}(u_{2}^{*},v_{2}^{*}))=k-(v_{2}^{*})^{2}$. Esse traço é negativo quando $(v_{2}^{*})^{2}>k$ e positivo quando $(v_{2}^{*})^{2}<k$; ou seja, $(u_{2}^{*},v_{2}^{*})$ é estável quando $v_{2}^{*}>{\sqrt {k}}$ e instável quando $v_{2}^{*}<{\sqrt {k}}$ (lembrando que $v_{2}^{*}>0$ para todo $F$ e $k$). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando $v_{2}^{*}={\sqrt {k}}$.

(...)

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz $\left(J_{R}-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u_{i}^{*},v_{i}^{*})}$, em que $D$ é a matriz diagonal cujas entradas são $D_{u}$ e $D_{v}$:

$D={\begin{bmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{bmatrix}}$

Se escrevermos, genericamente, que $J_{R}(u_{i}^{*},v_{i}^{*})={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

$\left(J_{R}-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u_{i}^{*},v_{i}^{*})}={\begin{bmatrix}a-D_{u}\omega ^{2}&b\\c&d-D_{v}\omega ^{2}\end{bmatrix}}$

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo ($\operatorname {det} \left(J_{R}-D\omega ^{2}\right)>0$) e seu traço negativo ($\operatorname {Tr} \left(J_{R}-D\omega ^{2}\right)>0$). Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:

${\begin{aligned}aD_{v}\omega ^{2}+dD_{u}\omega ^{2}-D_{u}D_{v}\omega ^{4}&<\operatorname {det} (J_{R})\\D_{u}\omega ^{2}+D_{v}\omega ^{2}&>\operatorname {Tr} (J_{R})\\\end{aligned}}$

Se o traço é negativo

---

Se agora incluímos os termos de difusão , deve-se levar em consideração a matriz $\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$.

Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$:

$\left(\left({\begin{array}{cc}-F-v^{2}&-2uv\\v^{2}&-F-k+2uv\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F-D_{u}\omega ^{2}&0\\0&-F-k-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_{u}\omega ^{2})(F+k+D_{v}\omega ^{2})>0$

$-2F-(D_{u}+D_{v})\omega ^{2}-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).

Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ está presente .

Implementação

Será usado o método FTCS (Foward Time Central Space) para integrar as equações do modelo. Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, Modelo de Turing), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente. Para uma função $f(x,y,t)$:

${\frac {\partial f}{\partial t}}\approx {\frac {f(x,y,t+\Delta t)-f(x,y,t)}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\approx {\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

A partir das duas últimas equações acima é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, como será usado no presente trabalho, pode ser escrito como

$\nabla ^{2}f(x,y,t)\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

Fazendo $\Delta x=\Delta y=\Delta h$, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(x,y,t)={\frac {f(x+\Delta h,y,t)+f(x-\Delta h,y,t)+f(x,y+\Delta h,t)+f(x,y-\Delta h,t)-4f(x,y,t)}{\Delta h^{2}}}$

Usando a notação $f(x\pm \Delta h,y\pm \Delta h,t\pm \Delta t)\equiv f_{i\pm 1,j\pm 1}^{n\pm 1}$ é possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+\left[-u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}+F(1-u_{i,j}^{n})+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+\left[u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}-(F+k)v_{i,j}^{n}+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t$

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho $69\times 69$. O estado do inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial $(u,v)=(1,0)$, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com $(u,v)=(0,1)$. Foram usadas condições de fronteira conforme a Figura 1.

Figura 1 - Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos que são denominados por U (Up), D (Down), L (Left), R (Right). Na Figura 1, o elemento $1$, possui os vizinhos $U=D=5$, $R=L=6$; o elemento $2$ possui como vizinhos $U=1$, $R=L=9$ e $D=10$; o elemento $3$ tem vizinhos $U=D=7$, $R=1$ e $L=8$; e, finalmente, os vizinhos de $4$ são $U=3$, $D=12$, $L=11$ e $R=2$.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.

Resultados e discussão

Modelo de Gray-Scott com $(D_{u},D_{v})=(2\times 10^{-5},10^{-5})$
Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.015,0.055)$, de t=0 até t=2000.	Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.02,0.05)$, de t=0 até t=2000.

Programa

Simulação do Modelo de Gray-Scott

Bibliografia

• C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
• H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.