Modelo de Gray-Scott

Introdução

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis $u$ e $v$ , a reação pode ser representada como

$u+2v\to 3v$

Isso significa que uma molécula da substância $u$ é transformada em uma molécula da substância $v$ por meio da ação de outras duas moléculas da substância $v$ , ou seja, $v$ é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações $u$ e $v$ mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., $3v\to u+2v$ ) não ocorre. Há reposição de $u$ a uma taxa $F$ (taxa de alimentação, feed rate) e remoção de $v$ a uma taxa ligeiramente mais rápida do que a reposição de $u$ .

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=-uv^{2}+F(1-u)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=uv^{2}-(F+k)v+D_{v}\nabla ^{2}v$

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Estado de Equilíbrio Trivial

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u},D_{v}$ . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ para quaisquer valores dos parâmetros.

Demonstração. O sistema de equações do modelo, com ${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$ e ${\frac {\partial v}{\partial t}}=0$ , fazendo $D_{u}=D_{v}=0$ , é dado por

$0=-uv^{2}+F(1-u)$

$0=uv^{2}-(F+k)v\quad (1)$

Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ . Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana $J|_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}}\right)$ possui traço negativo e determinante positivo^[1].

Se agora incluímos os termos de difusão $D_{u}$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , deve-se levar em consideração a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}} . Aqui, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a matriz jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal dos termos de difusão e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência^[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2 \right) \Bigg|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right) }

Para que o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F+D_{u}\omega^2)(F+k+D_{v}\omega^2) > 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2F - (D_{u}+D_{v})\omega^2 - k < 0}

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k, D_{u}} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} . Portanto, o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing)^[2].

Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} está presente ^[3].

Estados de Equilíbrio Não Triviais

Há outros dois estados de equilíbrio que são soluções não triviais do sistema de equações (1). Desde que seja obedecida a condição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\geq4(F+k)^2} , esses estados são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{+},v_{-})} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{-},v_{+})} , com^[3]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\mp} = \frac{1}{2\gamma^2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F + k}{F}}

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
↑ http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model
↑ ^3,0 ^3,1 C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.

[Sayama260-1] 1,0 ^1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[Biologia-2] ttp://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model

[Gros-3] 3,0 ^3,1 C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.

[1]

[2]

[3]

Modelo de Gray-Scott

Índice

Introdução

Descrição do Modelo

Análise de estabilidade

Estado de Equilíbrio Trivial

Estados de Equilíbrio Não Triviais

Referências

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