Método de Euler

A grande maioria das equações diferenciais de primeira ordem não podem ser resolvidas analiticamente. Para o comportamento a longo prazo de uma solução podemos tentar esboçar um campo de direções, mas se precisamos conhecer mais especificamente como uma solução se comporta, precisamos de outra ferramenta. Os métodos numéricos nos permitem obter soluções aproximadas para as equações diferenciais.

Começando com uma problema genérico de valor inicial:

$${\frac {dy}{dt}}=f\left(t,y\right)\qquad y\left(t_{0}\right)=y_{0}$$

Onde conhecemos a função ${\textstyle f\left(t,y\right)}$ e os valores na condição inicial também são números conhecidos, e assumimos que é tudo contínuo de forma que sabemos que uma solução de fato vai existir. Temos então para ${\textstyle t=t_{0}}$:

$$\left.{\frac {dy}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=f\left(t_{0},y_{0}\right)$$

Dessa forma podemos escrever então uma reta tangente à curva ${\textstyle y\left(t\right)}$ no ponto ${\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)}$ usando a inclinação ${\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)}$:

$$y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t-t_{0}\right)$$

Para visualizar melhor esta equação, podemos fazer ${\textstyle t_{0}=0}$ temos ${\textstyle y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)t}$ e fica ainda mais evidente que esta é uma equação de reta com inclinação ${\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)}$, e quando ${\textstyle t=t_{0}}$ temos ${\textstyle y=y_{0}}$, ou seja, passa pelo ponto ${\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)}$. Para ${\textstyle t_{0}\neq 0}$ temos apenas um deslocamento no eixo.

Então se ${\textstyle t_{1}}$ é perto o suficiente de ${\textstyle t_{0}}$, a equação da reta vai estar perto do valor atual da solução em ${\textstyle t_{1}}$. Então podemos escrever:

$$y_{1}=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t_{1}-t_{0}\right)$$

Podemos repetir o processo, usando agora ${\textstyle y_{1}=y\left(t_{1}\right)}$ como valor inicial, então:

$$y_{2}=y_{1}+f\left(t_{1},y_{1}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$$

Ou de maneira genérica:

$$y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t_{n+1}-t_{n}\right)$$

Podemos ainda reescrever o passo como ${\textstyle t_{n+1}-t_{n}=\Delta t}$, e ficamos então com:

$$y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t$$

Outra forma de visualizar o resultado, é considerar a reta

$$y=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t-t_{n}\right)$$

Como a solução aproximada para o intervalo ${\textstyle \left[t_{n},t_{n+1}\right]}$, então com um conjunto de retas podemos ter uma aproximação para a solução como um todo.

Exemplo 1

O primeiro exemplo de aplicação é o decaimento radiativo, cuja equação diferencial é:

$${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$$

Onde ${\textstyle N}$ é a quantidade de partículas que sofrem o decaimento e ${\textstyle \lambda }$ a taxa no qual o decaimento ocorre.

• Notem que a mesma equação pode descrever a diminuição de uma população estéril (${\textstyle N}$ sendo a quantidade de indivíduos vivos e ${\textstyle \lambda }$ a taxa de mortalidade) ou a descarga de um circuito RC.
• A aplicação do método a este exemplo de primeira ordem nos leva a seguinte relação de recorrência

$${\begin{aligned}N_{n+1}&=N_{n}+f\left(t_{n},N_{n}\right)\Delta t\\N_{n+1}&=N_{n}-\lambda N_{n}\Delta t\\N_{n+1}&=N_{n}\left(1-\lambda \Delta t\right)\end{aligned}}$$

Ou mais explicitamente:

$${\begin{aligned}N\left(t_{n+1}\right)&=\left[1-\lambda \Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\\N\left(t_{n}+\Delta t\right)&=\left[1-\lambda \Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\end{aligned}}$$

Implementando:

import matplotlib.pyplot as plt   #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1  #Parâmetros

fac = 1-lam*dt      #Função calculada
for i in range(Np): #Vamo calcular Np passos
  N.append(fac*N[i])#Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])  #printamos o resultado

plt.plot(N)         #Construimos o gráfico
plt.show()          #Plotamos

Principais materiais utilizados

1. Euler's Method (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
2. Método de Euler (REAMAT, UFRGS)