Algoritmo de Wang-Landau

Introdução

Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g(E)e^{-E/k_{B}T}$ a uma dada temperatura $T$, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g(E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia $H(E)$.

Algoritmo

No início da simulação, $g(E)$ é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir $g(E)=1$ para todas as energias possíveis $E$. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado.

Cada vez que uma energia $E$ é visitada, a entrada correspondente em $H(E)$ é incrementada em 1. A estimativa de $g(E)$ é então modificada por um fator multiplicativo $f$, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de $E$.

Se $E_{1}$ e $E_{2}$ são energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia $E_{1}$ para $E_{2}$ é

$p(E_{1}\rightarrow E_{2})=min\left({\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}},1\right).$

A razão das probabilidades de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$ e de $E_{2}$ a $E_{1}$ podem ser calculados como

${\frac {p(E_{1}\rightarrow E_{2})}{p(E_{2}\rightarrow E_{1})}}={\frac {g(E_{1})}{g(E_{2})}}.$

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

${\frac {1}{g(E_{1})}}p(E_{1}\rightarrow E_{2})={\frac {1}{g(E_{2})}}p(E_{2}\rightarrow E_{1}),$

onde $1/g(E1)$ é a probabilidade na energia $E_{1}$ e $p(E_{1}\rightarrow E_{2})$ é a probabilidade de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$.