Cálculo do tempo de colisão com aceleração

Cálculo do tempo de colisão com aceleração

Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: $|{\vec {r}}_{i}(t+dt)-{\vec {r}}_{j}(t+dt)|=\sigma$, e que ${\vec {r}}_{i}(t+dt)={\vec {r}}_{i}+{\vec {v}}_{i}dt+{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}$ e ${\vec {r}}_{j}(t+dt)={\vec {r}}_{j}+{\vec {v}}_{j}dt+{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}$, podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:
$({\vec {r}}_{i}(t+dt)-{\vec {r}}_{j}(t+dt))^{2}=\sigma ^{2}$

${\vec {r}}_{i}^{2}+{\vec {v}}_{i}^{2}dt^{2}+{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{4}}+2{\vec {r}}_{i}{\vec {v}}_{i}dt+2{\vec {r}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {v}}_{i}{\frac {dt^{3}}{2}}-2({\vec {r}}_{i}+{\vec {v}}_{i}dt+{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}})({\vec {r}}_{j}+{\vec {v}}_{j}dt+{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}})+{\vec {r}}_{j}^{2}+{\vec {v}}_{j}^{2}dt^{2}+{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{4}}+2{\vec {r}}_{j}{\vec {v}}_{j}dt+2{\vec {r}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {v}}_{j}{\frac {dt^{3}}{2}}=\sigma ^{2}$

${\vec {r}}_{i}^{2}+{\vec {v}}_{i}^{2}dt^{2}+{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{2}}+2{\vec {r}}_{i}{\vec {v}}_{i}dt+2{\vec {r}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {v}}_{i}{\frac {dt^{3}}{2}}-2{\vec {r}}_{i}{\vec {r}}_{j}-2{\vec {r}}_{i}{\vec {v}}_{j}dt-2{\vec {r}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}-2{\vec {r}}_{j}{\vec {v}}_{i}dt-2{\vec {v}}_{i}{\vec {v}}_{j}dt^{2}-2{\vec {v}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}-2{\vec {r}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}-2{\vec {v}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}-{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{2}}+{\vec {r}}_{j}^{2}+{\vec {v}}_{j}^{2}dt^{2}+2{\vec {r}}_{j}{\vec {v}}_{j}dt+2{\vec {r}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {v}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}=\sigma ^{2}$

Reajeitando os termos antes da simplificação final:
${\vec {r}}_{i}^{2}-2{\vec {r}}_{i}{\vec {r}}_{j}+{\vec {r}}_{j}^{2}+{\vec {v}}_{i}^{2}dt^{2}-2{\vec {v}}_{i}{\vec {v}}_{j}dt^{2}+{\vec {v}}_{j}^{2}dt^{2}+{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{2}}-{\vec {g}}^{2}{\frac {dt^{4}}{2}}+2{\vec {r}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}-2{\vec {r}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {v}}_{i}{\frac {dt^{3}}{2}}-2{\vec {v}}_{i}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}-2{\vec {r}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}+2{\vec {r}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{2}}{2}}-2{\vec {v}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}+2{\vec {v}}_{j}{\vec {g}}{\frac {dt^{3}}{2}}+2{\vec {r}}_{i}({\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{j})dt-2{\vec {r}}_{j}({\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{j})dt=\sigma ^{2}$

Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o $dt_{min}$, onde ficou definido $\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}$ e $\Delta {\vec {v}}={\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{j}$ na seção anterior:
$({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})^{2}+({\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{j})^{2}dt^{2}+2({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})({\vec {v}}_{i}-{\vec {v}}_{j})dt-\sigma ^{2}=0$